300 Bài tập dấu của tam thức bậc hai (có đáp án năm 2024)

Bài tập dấu của tam thức bậc hai

Kiến thức cần nhớ

1. Dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b² – 4ac.

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ \ $\left\{\frac{-\mathrm{b}}{2\text{a}}\right\}$

+ Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x₁, x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

– f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (–∞; x₁); (x₂; +∞)

– f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂).

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Xét dấu của tam thức bậc hai

a) f(x) = 4x² – x + 1;

b) f(x) = x² + 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 4x² – x + 1 có ∆ = b² – 4ac = (– 1)² – 4.4.1 = –15 < 0, hệ số

a = 4 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 có ∆ = b² – 4ac = 2² – 4.1.1 = 0, hệ số a = 1 > 0, nghiệm kép x₀ = – 1 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ \ {– 1}.

Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 4x + 3.

Hướng dẫn giải

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 4x + 3 có ∆ = b² – 4ac = (– 4)² – 4.1.3 = 4 > 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1; x₂ = 3;  hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu như sau:

Các dạng bài toán dấu của tam thức bậc hai

(Xem thêm các dạng bài toán trong file pdf)

Dạng 1. Xét dấu tam thức bậc hai – bất phương trình bậc hai.

Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai và một số bài toán liên quan.

Dạng 3. Bất phương trình tích.

Dạng 4. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Dạng 5. Hệ bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan.

Dạng 6. Bài toán chứa tham số.

Dạng 7. Tìm m để hệ bất phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước.

Dạng 8. Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và một số bài toán liên quan.

Dạng 9. Bất phương trình chứa căn và một số bài toán liên quan.

Bài tập có hướng dẫn

1. Bài tập vận dụng

1.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Khi nào thì tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}$ nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\left(\sqrt{5}-1\right)\mathrm{x}-\sqrt{5}=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=-\sqrt{5}\end{array}\right.$.

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0\iff \mathrm{x}\in \left(-\infty ;-\sqrt{5}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

Bài 2. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai với đồ thị được cho ở mỗi hình.

Hướng dẫn giải

a)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại điểm (2; 0) nên phương trình f(x) = 0 có duy nhất nghiệm x = 2.

Ta thấy đồ thị nằm trên trục hoành nên ta có bảng xét dấu:

b)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–4; 0) và (–1; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –4; x₂ = –1.

Trong các khoảng (–∞; –4) và (–1; +∞) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0, trong khoảng (–4; –1) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0.

Bảng xét dấu:

c)

Ta thấy đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt (–1; 0) và (2; 0) nên phương trình

f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁ = –1; x₂ = 2

Trong các khoảng (–∞; –1) và (2; +∞) thì đồ thị nằm trên trục hoành nên f(x) > 0

Trong khoảng (–1; 2) thì đồ thị nằm dưới trục hoành nên f(x) < 0.

Bảng xét dấu:

Bài 3. Tìm giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-7\mathrm{x}-9=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1\\ \mathrm{x}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)<0\iff -1<\mathrm{x}<\frac{9}{2}$.  Mà x nguyên nên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}.

Như vậy, với x nguyên x ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} thì f(x) = 2x² – 7x – 9  < 0. 

1.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6$ nhận giá trị dương khi và chỉ khi

A. $\mathrm{x}\in \left(-\infty ;2\right)$;     

B. $\left(3;+\infty \right)$;            

C. $\mathrm{x}\in \left(2;+\infty \right)$;     

D. $\mathrm{x}\in \left(2;3\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}-6=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=2\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.$.

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0\iff \mathrm{x}\in \left(2;3\right).$ 

Câu 2.Tam thức bậc hai $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2$ nhận giá trị không âm khi và chỉ khi

A.$\mathrm{x}\in \left(-\infty ;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$;                 

B. $\mathrm{x}\in \left[1;2\right]$;       

C. $\mathrm{x}\in \left(-\infty ;1\right]\cup \left[2;+\infty \right)$.                 

D. $\mathrm{x}\in \left(1;2\right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{x}=2\end{array}\right.$ .

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ge 0\iff 1\le \mathrm{x}\le 2$.

Do đó, $\mathrm{x}\in \left[1;2\right]$.

Câu 3. Cho các tam thức $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+4;\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-4;\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=4-3{\mathrm{x}}^2$. Số tam thức đổi dấu trên ℝ là:

A. 0;   

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì f(x) = 0 vô nghiệm, g(x) = 0 vô nghiệm, h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên chỉ có h(x) đổi dấu trên ℝ.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm các bài tập trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

150 Bài tập hàm số (có đáp án năm 2023)

250 Bài tập hàm số bậc hai (có đáp án năm 2023)

100 Bài tập về Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2023)

150 Bài tập phương trình đường thẳng (2024) có đáp án

90 Bài tập về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (2024) có đáp án