70 Bài tập về Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (có đáp án năm 2024) - Toán 7

Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Kiến thức cần nhớ

1. Số vô tỉ

• Số thập phân không phải số thập phân hữu hạn cũng không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

• Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là $\mathrm{𝕀}$.

Ví dụ:

+ Tỉ số giữa chu vi và đường kính của một đường tròn luôn là số π (đọc là pi) và bằng 3,14159265358… đây là số vô tỉ.

Chú ý:

• Ta làm tròn số thập phân vô hạn như làm tròn số thập phân hữu hạn.

Ví dụ: Chẳng hạn ta làm tròn số 0,215679012… đến chữ số thập phân thứ ba.

Ta thấy chữ số thập phân thứ 4 là 6 > 5 nên làm tròn số 0,215679012… đến chữ số thập phân thứ ba ta được kết quả là 0,216.

2. Căn bậc hai số học

• Căn bậc hai số học của một số a không âm, kí hiệu là $\sqrt{\mathrm{a}}$, là số x không âm sao cho x² = a.

• Theo định nghĩa căn bậc hai số học ta có: ${\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2=\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\mathrm{a}$ với a ≥ 0.

Ví dụ:

+ Hình vuông có diện tích là 2 cm² thì độ dài cạnh hình vuông gọi là căn bậc hai số học của 2 và bằng $\sqrt{2}$ cm.

+ Tính: a) $\sqrt{64}$;   b) $\sqrt{{159}^2}$

Hướng dẫn giải

a) Vì 8² = 64 và 8 > 0 nên $\sqrt{64}$ = 8;

b) Vì 159 > 0 nên $\sqrt{{159}^2}$ = 159.

3. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

• Căn bậc hai số học của một số tự nhiên không chính phương luôn là một số vô tỉ.

• Cách tính căn bậc hai số học của một số a không âm bằng máy tính cầm tay

      Phép tính: $\sqrt{\mathrm{a}}$

      Ấn các phím theo thứ tự: (a là một số không âm bất kì trên bàn phím máy tính)

Ví dụ:

+ Muốn tính căn bậc hai số học của 2, ta có phép tính là $\sqrt{2}$ và ấn máy tính như sau:

Ta được kết quả hiển thị trên màn hình là: 1,414213562

Đây là kết quả đã được làm tròn đến số thập phân số 9

Nên ta có: $\sqrt{2}$ ≈ 1,414213562.

Chú ý:

• Màn hình máy tính cầm tay chỉ hiển thị được một số hữu hạn chữ số nên các kết quả là số thập phân vô hạn (tuần hoàn hay không tuần hoàn) đều được làm tròn.

Các dạng bài tập Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Dạng 1: Nhận biết mối quan hệ giữa các tập số.

Dạng 2: Tìm căn bậc hai của một số cho trước và tìm một số biết căn bậc hai của nó.

+ Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của một số cho trước.

+ Bài toán 2. Tìm một số biết căn bậc hai của nó.

Dạng 3: Thực hiện phép tính.

Dạng 4: Tìm x.

Dạng 5: So sánh hai số.

Dạng 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai.

Dạng 7. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.

Bài tập (có đáp án)

1. Bài tập vận dụng

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các số $\frac{2}{11};0,\mathrm{232323...};0,\mathrm{20022...};\sqrt{\frac{1}{4}}$ , số vô tỉ là:

A. $\frac{2}{11}$;                  

B. 0,232323…;    

C.0,20022…;                 

D. $\sqrt{\frac{1}{4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $\frac{2}{11}=0,\left(18\right)$.

Vậy $\frac{2}{11}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $\frac{2}{11}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

• Số 0,232323… là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 0,232323… là số hữu tỉ không phải số vô tỉ.

• 0,20022… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên 0,20022… là số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$. Vì 0,5 là số thập phân hữu hạn nên $\sqrt{\frac{1}{4}}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

Vậy chọn phương án C.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sqrt{0,36}=0,6$;

B. $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=6$;

C. $\sqrt{150}=\sqrt{100}+\sqrt{50}$;

D. $\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

• $\sqrt{0,36}=0,6$ nên phương án A đúng.

• $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{36}=6$ nên phương án B đúng.

• Sử dụng máy tính cầm tay ta có $\sqrt{150}$= 12,247…; $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$=17,071…

Vì 12,247… ¹ 17,071… nên $\sqrt{150}$¹ $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$.

Do đó, phương án C sai.

•$\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  nên phương án D đúng.

Vậy chọn phương án C.

Câu 3. Số − 9 có mấy căn bậc hai?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số âm không có căn bậc hai nên số −9 không có căn bậc hai.

Vậy chọn phương án A.

Câu 4. Cạnh của bàn cờ vua bằng bao nhiêu, biết bàn cờ vua hình vuông có diện tích bằng 400 cm²?

A.12 cm;

B. 20 cm;

C. 40 cm;

D. 10 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi cạnh của bàn cờ là a

Ta có: Diện tích bàn cờ = a² = 400

Nên ta được $\mathrm{a}=\sqrt{400}=\sqrt{{20}^2}=20$

Vậy cạnh của bàn cờ là 20 cm.

Câu 5. Một gia đình muốn sửa nhà bằng cách thay lại ốp sàn. Biết căn nhà đó có diện tích 140 m². Hỏi gia đình đó cần bao nhiêu viên gạch hình vuông cạnh 50 cm để hoàn thành căn nhà, coi các mối ghép bằng vữa là không đáng kể?

A. 568;

B. 564;

C. 562;

D. 560.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích của một viên gạch hình vuông là: 50² = 2500 (cm²)

Đổi 2500 cm² = 0,25 m²

Số viên gạch cần dùng để hoàn thành căn nhà có diện tích 140 m² là:

$140:0,25=140:\frac{1}{4}=140\times 4=560$(viên)

Vậy cần 560 viên

Câu 6. Sử dụng máy tính cầm tay tính $\sqrt{94}$và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai?

A. 9,7;

B. 9,695;

C. 9,69;

D. 9,610.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là làm tròn đến phần trăm.

Ta có: $\sqrt{94}=9,\mathrm{69535...}$

Ta gạch chân dưới chữ số hàng phần trăm 9,69535…Nhận thấy chữ số hàng phần nghìn là 5 $\ge$ 5 nên ta cộng thêm 1 vào chữ số hàng phần trăm và bỏ đi các chữ số thập phân sau hàng phần trăm. Vì 9 + 1 = 10 nên ta cộng thêm 1 vào chữ số phần chục.

$\sqrt{94}\approx$9,7

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân $\frac{11}{40};\frac{14}{25};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}$ Hãy chỉ ra số nào là số thập hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{11}{40}=\frac{275}{1000}=0,275$. Số 0,275 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56$. Số 0,56 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$. Số 0,(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6.

Ta có: $-\frac{4}{3}=-1,\left(3\right)$. Số –1,(3) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 3.

Vậy các số thập phân hữu hạn là $\frac{11}{40}$; $\frac{14}{25}$ và các số thập phân vô hạn tuần hoàn là $\frac{2}{3}$; $\frac{-4}{3}$

Bài 2: Tính:

a) $\sqrt{16}$;

b) $\sqrt{{(-12)}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{16}=4$ (vì 4 > 0 và 4² =16).

b) Ta có: $\sqrt{{(-12)}^2}=\sqrt{144}=12$ (vì 12 > 0 và 12² = 144).

Bài 3: Hãy dùng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$; $\sqrt{625}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta bấm liên tiếp các nút như sau:

Vậy $\sqrt{5}$ ≈ 2,2360679 và $\sqrt{625}$ = 25.

Bài 4. Sau khi sơn tường cho một bức tường hình vuông bác Minh phải trả cho thợ sơn số tiền là 1 600 000 đồng. Biết công thợ sơn cho 1 m² là 25 000 đồng. Tính độ dài cạnh bức tường đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích bức tường cần sơn là:

1 600 000 : 25 000 = 64 (m²)

Diện tích của hình vuông có cạnh a (m) là a² (m²).

Bức tường hình vuông có diện tích là 64 m² nên ta có a² = 64.

Vì cạnh hình vuông nên a không thể âm, do đó a là căn bậc hai số học của 64.

Ta có 8² = 64 và 8 > 0 nên $\sqrt{64}=8$.

Suy ra a = 8 (m).

Vậy độ dài cạnh bức tường hình vuông đó là 8 m.

Bài 5. Để lát một mảnh sân có diện tích 240 m² người ta cần 800 viên gạch hoa hình vuông. Tính độ dài cạnh của mỗi viên gạch hoa theo đơn vị đề-xi-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Coi các mạch ghép là không đáng kể.

Hướng dẫn giải

Đổi 240 m² = 24000 dm²

Diện tích của mỗi viên gạch hoa là: 24000 : 800 = 30 (dm²)

Vì $30={\left(\sqrt{30}\right)}^2$ nên độ dài cạnh của viên gạch hoa là: $\sqrt{30}$ dm

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được $\sqrt{30}$ ≈ 5,477225575.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười ta được độ dài cạnh viên gạch hoa là 5,5 dm.

Bài 6. Điền kí hiệu ($\in ;\notin$) thích hợp vào chỗ chấm:

a) 8,(25) … $\mathrm{?}$

b) $-\frac{1}{3}$ … $\mathrm{?}$

c) 0 … $\mathrm{?}$

d) $\sqrt{11}$ … $\mathrm{?}$

e) $\sqrt{9}$ … $\mathrm{?}$

Hướng dẫn giải

a) Vì 8,(25) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 8,(25) là số hữu tỉ. Do đó 8,(25) $\notin \mathrm{?}$;

b) Vì $-\frac{1}{3}=-0,\left(3\right)$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $-\frac{2}{3}$ $\notin \mathrm{?}$;

c) 0 là số hữu tỉ nên 0 $\notin \mathrm{?}$;

d) Vì 11 không là số chính phương nên $\sqrt{11}$ $\in \mathrm{?}$;

e) Vì 3² = 9 và 3 > 0 nên $\sqrt{9}=3$ là số hữu tỉ nên $\sqrt{9}$ $\notin \mathrm{?}$.

Bài 7. Tìm căn bậc hai số học của các số sau:

a) 169;

b) 10 000;

c) 625;

d) 0.

Hướng dẫn giải

a) Vì 13² = 169 và 13 > 0 nên $\sqrt{169}=13$;

b) Vì 10 000 = 100² và 100 > 0 nên $\sqrt{10000}=100$;

c) Vì 625 = 25² và 25 > 0 nên $\sqrt{625}=25$;

d) Căn bậc hai của 0 là chính nó là 0.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng Toán khác :

50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Bảng căn bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Căn bậc hai (có đáp án năm 2023)