70 Bài tập về phép quay (có đáp án năm 2024)

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Phép quay

Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

- Định nghĩa: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; OM’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc α được kí hiệu là Q_{(O, α).}

- Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

Phép quay  là phép đồng nhất.

Phép quay là phép đối xứng tâm O.

2. Tính chất

- Tính chất 1. Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Phép quay tâm O, góc (OA, OA’) biến điểm A thành A’, B thành B’. Khi đó ta có A’B’ = AB.

- Tính chất 2. Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

- Nhận xét: Phép quay góc α với , biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho góc giữa d và d’ bằng α (nếu $0<\alpha \le \frac{\pi }{2}$), hoặc bằng $\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }$ (nếu  $\frac{\pi }{2}\le \alpha <\pi )$

Các dạng bài toán phép quay

Dạng 1. Chứng minh điểm M’ là ảnh của điểm M trong một phép quay.

Dạng 2. Tìm ảnh của một đường thẳng, đường tròn qua một phép quay.

Dạng 3. Dựng hình bằng phép quay.

Bài tập có hướng dẫn

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(9; 0). Tìm tọa độ ảnh A’ của điểm A qua phép quay $Q_{(O,\frac{\pi }{2})}$.

Lời giải:

Cách 1: Biểu diễn phép quay trên mặt phẳng tọa độ, suy ra A’(0; 9).

Cách 2. Áp dụng biểu thức tọa độ của phép quay (mở rộng)

Bài 2. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc quay α với  biến hình vuông trên thành chính nó?

Lời giải:

Có 4 phép quay tâm O góc α với $0<\alpha \le 2\pi$ biến hình vuông trên thành chính nó. Đó là các phép quay với góc quay bằng: $\frac{\pi }{2};\pi ;\frac{3\pi }{2};2\pi .$

Khi đó, các phép quay biến đỉnh này thành đỉnh kia của hình vuông.

Bài 3. Tìm ảnh của đường thẳng d: 5x – 3y + 15 = 0 qua phép quay tâm O và  góc quay 90⁰.

Lời giải:

Gọi d’ là ảnh cuả đường thẳng d qua phép quay trên.

Vì góc quay 90⁰ nên $d\perp d\text{'}$.

Suy ra, phương trình đường thẳng d’ có dạng:  3x + 5y + c = 0

Lấy điểm M(– 3 ; 0) thuộc d.

Ta có $Q_{\left(0;{90}^0\right)}\left(M\right)=M\text{'}\left(0;-3\right)$

Vì điểm M’ thuộc d’ nên thay tọa độ điểm M’ vào d’ ta được:

3.0 + 5.(– 3) + c = 0 nên c = 15.

Vậy phương trình đường thẳng d’ là 3x + 5y + 15 = 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1;-5). Tìm ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰

A. N(5;1)                   B. N(5;-1)                  C. N(1;5)                   D. N(1;-5)

Lời giải:

Đáp án: A

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 5x – 2y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰

A. d’: 5x – 2y + 6 = 0                                   B. d’: 5x – 2y – 3 = 0 

C. d’: 2x – 5y – 3 = 0                                   D. d’: 2x – 5y + 6 = 0 

Lời giải:

Đáp án: B

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² + 6x + 5 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 90⁰ là:

A. x² + (y – 3)=2² = 4                                   B. x² + y² + 6x – 6 = 0

C. x² + (y + 3)=2² = 4                                    D. x² + y² + 6x – 5 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập Toán có đáp án và lời giải chi tiết khác:

70 Bài tập về Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian (có đáp án năm 2023)

300 Bài tập Toán hình 11 chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép đối xứng tâm (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về phép đối xứng trục (có đáp án năm 2023)