70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập giới hạn của dãy số Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Kiến thức cần nhớ

a) Dãy số có giới hạn 0

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.

Kí hiệu: limnun=0 hay lim un = 0 hay un0 khi n+.

b) Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0

Kí hiệu: limnun=L hay lim un = L hay unL khi n+.

c) Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số (un) có giới hạn là + khi n+, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu: limun=+ hoặc un+ khin+ 

Dãy số (un) có giới hạn là - khi n+, nếu limun=+

Ký hiệu: limun= hoặc un khin+ 

d) Một vài giới hạn đặc biệt

limun=0limun=0

lim1n=0;  lim1nk=0,k>0,k*

limnk=+,k>0,k*

limqn=0 khi   q<1+ khi   q>1

e) Định lý về giới hạn hữu hạn

* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :

lim(un + vn) = a + b

lim(un - vn) = a - b

lim(un vn) = a.b

limunvn=ab,b0

lim(cun ) = c.a

lim|un | = |a|

limun3=a3

Nếu un0 với mọi n thì a0 và limun=a.

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn):

Nếu vnunwn,  nN*limvn=limwn=a thì lim un = a.

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn):

Nếu unvn,  nN*limvn=0 thì lim un = 0.

f) Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn)

Nếu limun=L0,   limvn=+(hay). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+ +

+

- -

-

+ -

-

- +

* Quy tắc tìm giới hạn thương

lim un = L

lim vn

Dấu của vn

limunvn

L

±

Tùy ý

0

L > 0

0

+

+

0

-

-

L < 0

0

+

-

0

-

+

g) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u1+u1q+u1q2+....=u11q   q<1

Các dạng toán về giới hạn của dãy số

Dạng 1: Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt

Phương pháp giải:

Sử dụng các giới hạn đặc biệt:

limun=0limun=0

lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k*limnk=+,k>0,k*

limqn=0khi   q<1+khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim1n2

b) lim1n2+n+3

c) lim1nn

Lời giải

Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:

a) lim1n2=0

b) lim1n2+n+3=0

c) lim1nn=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim12n

b) lim54n+1

c) lim (-0,999)n

Lời giải

a) lim12n=0 vì 12<1

b) lim54n+1=+ vì 54>1

c) lim (-0,999)n = 0 vì |-0,999| < 1.

Dạng 2: Tính giới hạn hữu hạn của phân thức

Phương pháp giải:

Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất).

Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.

Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:

limun=0limun=0lim1n=0;lim1nk=0,k>0,k*limnk=+,k>0,k*limqn=0 khi   q<1+ khi   q>1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

a) lim2n3+3n2+4n4+4n3+n

b) lim5n+4n7n+1+4n+1

c) lim2nn+1n2+2n3

Lời giải

a) lim2n3+3n2+4n4+4n3+n=lim2n3+3n2+4n4n4+4n3+nn4

=lim2n+3n2+4n41+4n+1n3=0+0+41+0+0=0

Vì lim2n=0, lim3n2=0, lim4n4=0, lim4n=0 và lim1n3=0.

b) lim5n+4n7n+1+4n+1=lim5n7n+1+4n7n+17n+17n+1+4n+17n+1

=lim17.57n+17.47n1+47n+1=17.0+17.01+0=0

Vì  lim57n=lim47n=0

c) lim2nn+1n2+2n3=lim2nn+1n2n2+2n3n2

=lim2n+1n21+2nn3n2=0+01+00=0

Vì lim2n=0,lim1n2=0, lim2nn=0,lim3n2=0

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp

Phương pháp giải: 

Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: limn3+3n23n

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L0,   limvn=+(hay). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+ +

+

- -

-

+ -

-

- +

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

a) lim2nn3+2n2

b) limn2n4n+1

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức

Phương pháp giải:

Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.

Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn)

Nếu limun=L0,   limvn=+(hay). Khi đó: lim (unvn)

lim un = L

lim vn

lim (unvn)

+

+ +

+

- -

-

+ -

-

- +

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim2n43n3+2n3+2

b) lim2n13n2+232n5+4n31

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau lim3n22n4+3n24n3n2+2.

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp

Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vnunwn,  nN*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu unvn,  nN*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim1nn+4

b) lim1n2n+113n+1

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :

a) limsin2nn+2

b) lim1+cosn32n+3

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn

Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a.

Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.

Ta được giới hạn của (un) là lim un = a.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=1un+1=2un+3un+2,  n*

Lời giải

Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a

Suy ra a=2a+3a+2a2+2a=2a+3a2=3a=±3

Do u1=1>0,un+1=2un+3un+2>0  n* nên a>0a=3

Vậy limun=3.

Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và un:u1=2un+1=2+un,  n*.

Lời giải

Vì u1=2>0;un+1=2+un>0

Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a

Suy ra a=2+aa2=a+2

a2a2=0a=1   (Loi)a=2  

Vậy lim un = 2.

Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn

Phương pháp giải:

* Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội)

* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.

* Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu vnunwn,  nN*limvn=limwn=a thì lim un = a

Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu unvn,  nN*limvn=0 thì lim un = 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

a) lim11.3+13.5+...+12n12n+1

b) lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

b) L=lim1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1

Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1.

Tổng n số hạng của cấp số cộng: Sn=u1+unn2=1+nn2.

Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 3; 3; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3.

Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân: Sn+1=u1.1qn+11q=13n+113=3n+112.

 Khi đó: L=lim1+nn23n+112.(n+1)=limn3n+11

Vì n3n+11=n3.3n1<n3n<2n3n=23n và lim23n=0

Nên L=limn3n+11=0

(Bằng quy nạp ta luôn có n<2n,n* và 3n>1,n*3n+13n=2.3n>2>13n+11>3n).

Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: lim1234562n12n

Lời giải

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Giới hạn của dãy số và cách giải bài tập – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phương pháp giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: S=u1+u1q+u1q2+....=u11q   q<1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

a) S=1+12+14+18+

b) S=1+0,9+0,92+0,93+

Lời giải

a) S=1+12+14+18+ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q=12.

Nên S=1+12+14+18+=1112=2.

b) S=1+0,9+0,92+0,93+ là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.

Nên S=1+0,9+0,92+0,93+=110,9=10.

Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:

a) a = 0,32111...

b) b = 2,151515...

Lời giải

a) Ta có a=0,32111...=32100+1103+1104+1105+...

Vì 1103+1104+1105+... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=1103 và q=110

Nên b=32100+11031110=289900.

b) Ta có b=2,151515...=2+15100+151002+151003+...

Vì 15100+151002+151003+... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1=15100 và q=1100

Nên b=2+1510011100=7133.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?

A. lim1n3=0.

B. lim1nn2=0.

C. lim1n3=1.

D. lim1n=0.

Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. 43n.

B. 43n.

C. 53n.

D. 13n.

Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A. limn22n5n+5n2.

B. lim12n5n+5.

C. lim12n25n+5.

D. lim12n5n+5n2.

Câu 4. Tính giới hạn limsinn!n2+1 bằng

A. 0.

B. 1.

C. +.

D. 2.

Câu 5. Cho dãy số (un) với un=1+3+5+...+2n13n2+4. Khi đó lim un bằng

A. 13.

B. 0.

C. 23.

D. 1.      

Câu 6. Cho dãy số (un) với un=11.2+12.3+....+1nn+1. Khi đó lim un bằng

A. 2.

B. 1.

C. 32.

D. Không có giới hạn.

Câu 7. Tính limn8n3+3n+23 bằng:

A. +.

B. -.

C. -1.

D. 0.

Câu 8. Tính limn+4n2n33 bằng:

A. -43.

B. +.

C. 43.

D. -4.

Câu 9. Tính lim3n2.5n7+3.5n bằng:

A. 23.

B. -16.

C. 17.

D. -23.

Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0?

A. lim2n+312n.

B. lim2n+1n32n2n3.

C. lim12n2n2+2n.

D. lim2n+13.2n3n.

Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1=1, un+1=22un+1un+3 với mọi n1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:

A. -1.

B. 2.

C. 4.

D. 23.

Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với un=3nn44n5 là

A. .

B. +.

C. 34 .

D. 0.

Câu 13. Chọn kết quả đúng của limn32n+53+5n.

A. 5.

B. 25.

C. -.

D. +.

Câu 14. Tổng S=12+14+18+...1n+12n+... bằng:

A. 1.

B. 13.

C. 34.

D. 23.

Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:

A. 249200.

B. 137110.

C. 2722.

D. 6955.

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

D

D

A

A

B

B

C

D

D

B

A

D

B

B

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem trong file đính kèm bên dưới)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

70 Bài tập về hàm số liên tục (2024) có đáp án hay nhất

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2023)

300 Bài tập Toán 11 chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)

70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 1)
Trang 1
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 2)
Trang 2
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 3)
Trang 3
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 4)
Trang 4
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 5)
Trang 5
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 6)
Trang 6
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 7)
Trang 7
70 Bài tập về giới hạn của dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!