60 Bài tập về Tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án năm 2024) - Toán 8

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$ (N là một đa thức khác đa thức 0).

Ví dụ. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

Các dạng bài tập tính chất cơ bản của phân thức

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế.

Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài.

Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu.

Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2. Rút gọn từng phân thức.

Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dạng 5: Toán nâng cao.

Bài tập (có đáp án)

I. Bài tập có hướng dẫn giải chi tiết

Bài 1. Cô giáo yêu cầu mỗi bạn cho một ví dụ về hai phân thức bằng nhau. Dưới đây là những ví dụ mà các bạn Lan, Hùng, Giang, Huy đã cho:

$\begin{array}{l}\frac{x+3}{2x-5}=\frac{x^2+3x}{2x^2-5x}(Lan)\\ \frac{{(x+1)}^2}{x^2+x}=\frac{x+1}{1}(Hung)\\ \frac{4-x}{-3x}=\frac{x-4}{3x}(Giang)\\ \frac{{(x-9)}^3}{2.(9-x)}=\frac{{(9-x)}^2}{2}(Huy)\end{array}$

Em hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức và qui tắc đổi dấu để giải thích ai viết đúng, ai viết sai. Nếu có chỗ nào sai em hãy sửa lại cho đúng.

Giải:

Lan viết đúng:

$\frac{x+3}{2x-5}=\frac{(x+3)x}{(2x-5)x}=\frac{x^2+3x}{2x^2-5x}$

Hùng viết sai:

$\frac{{(x+1)}^2}{x^2+x}=\frac{{(x+1)}^2}{x(x+1)}=\frac{x+1}{x}$

Hùng viết sai vì đã chia tử của vế trái cho nhân tử chung x + 1 thì cũng phải chia mẫu của nó cho x + 1. 

=> Sửa lại:

$[\begin{array}{l}\frac{{(x+1)}^2}{x^2+x}=\frac{x+1}{x}\\ \frac{{(x+1)}^2}{x+1}=\frac{x+1}{1}\end{array}$

Giang viết đúng: $\frac{4-x}{-3x}=\frac{-(4-x)}{-(-3x)}=\frac{x-4}{3x}$

Huy viết sai: $\frac{{(x-9)}^3}{2.(9-x)}=\frac{-{(9-x)}^3}{2.(9-x)}=\frac{-{(9-x)}^2}{2}$

=> Sửa lại:

$[\begin{array}{l}\frac{{(x-9)}^3}{2.(9-x)}=\frac{-{(9-x)}^2}{2}\\ \frac{{(x-9)}^3}{2.(9-x)}=\frac{{(9-x)}^2}{-2}\end{array}$

Bài 2. Điền đa thức thích hợp vào mỗi chỗ trống trong các đa thức sau:

$\begin{array}{l}a)\frac{x^3+x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{...}{x-1}\\ b)\frac{5(x+y)}{2}=\frac{5x^2-5y^2}{...}\end{array}$

Giải:

a) $\frac{x^3+x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2}{x-1}$

Vậy phải điền x² vào chỗ trống.

b) $\frac{5(x+y)}{2}=\frac{5(x+y)(x-y)}{2(x-y)}=\frac{5(x^2-y^2)}{2(x-y)}=\frac{5x^2-5y^2}{2(x-y)}$

Vậy phải điền 2(x-y) vào chỗ trống.

Bài 3. Đố. Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống: $\frac{x^5-1}{x^2-1}=\frac{...}{x+1}$

Giải:

Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho x – 1 (vì x² –  1 = (x – 1)(x  + 1))

Vậy phải chia tử của vế trái x⁵ – 1 cho x – 1

Vậy phải điền vào chỗ trống :  x⁴ + x³ + x² + x + 1 

Bài 4: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

$\begin{array}{l}a.\frac{x-x^2}{5x^2-5}=\frac{x}{...}\\ b.\frac{x^2+8}{2x-1}=\frac{3x^2+24x}{...}\\ c.\frac{...}{x-y}=\frac{3x^2-3xy}{3{(y-x)}^2}\\ d.\frac{-x^2+2xy-y^2}{x+y}=\frac{...}{y^2-x^2}\end{array}$

Giải:

a) Ta có: Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái đã chia cho 1 – x nên mẫu thức phải chia cho 1 – x. Mà 5x²– 5 = 5(x – 1)(x + 1) = - 5(1 – x)(x+ 1)

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là – 5(x + 1)

b) Ta có: Từ tử thức hai vế chứng tỏ tử thức vế trái được nhân với 3x nên mẫu thức cũng nhân với 3x.

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là 3x(2x – 1) = 6x² – 3x

c) Ta có: Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái được nhân với 3(x – y) nên tử cũng được nhân với 3(x – y) mà 3x² – 3xy = 3(x – y)

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x.

d) Ta có: Từ mẫu thức hai vế chứng tỏ mẫu thức vế trái nhân thêm y – x nên tử phải nhân với y – x

Vậy đa thức cần điền là (- x + 2xy – y²)(y – x)

Ta có: (- x + 2xy – y²)(y – x)

= - x²y + x³ + 2xy² – 2x²y – y³ + xy²

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³ = (x – y)³

Bài 5. Biến đồi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó có tử là đa thức A cho trước:

$\begin{array}{l}a.\frac{4x+3}{x^2-5},A=12x^2+9x\\ b.\frac{8x^2-8x+2}{(4x-2)(15-x)},A=1-2x\end{array}$

Giải:

$\begin{array}{l}a.A=12x^2+9x=3x(4x+3)\\ \Rightarrow \frac{4x+3}{x^2-5}=\frac{(4x+3).3x}{(x^2-5).3x}=\frac{12x^2+9x}{3x^3-15x}\\ b.A=1-2x\Rightarrow 8x^2-8x+2:(1-2x)=2-4x\\ \Rightarrow \frac{8x^2-8x+2}{(4x-2)(15-x)}=\frac{(8x^2-8x+2):(2-4x)}{(4x-2)(15-x):(2-4x)}=\frac{1-2x}{x-15}\end{array}$

Bài 6. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:

$\begin{array}{l}a.\frac{3}{x+2}\mathrm{\&}\frac{x-1}{5x}\\ b.\frac{x+5}{4x}\mathrm{\&}\frac{x^2-25}{2x+3}\end{array}$

Giải:

$\begin{array}{l}a.\frac{3}{x+2}=\frac{3(x-1)}{(x+2)(x-1)}=\frac{3x-3}{x^2+x-2}\\ \frac{x-1}{5x}=\frac{3(x-1)}{5x.3}=\frac{3x-3}{15x}\\ b.\frac{x+5}{4x}=\frac{(x+5)(x-5)}{4x.(x-5)}=\frac{x^2-25}{4x^2-20x}\\ \frac{x^2-25}{2x+3}\end{array}$

Bài 7: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:

$\begin{array}{l}a.\frac{3x}{x-5}\mathrm{\&}\frac{7x+2}{5-x}\\ b.\frac{4x}{x+1}\mathrm{\&}\frac{3x}{x-1}\\ c.\frac{2}{x^2+8x+16}\mathrm{\&}\frac{x-4}{2x+8}\\ d.\frac{2x}{(x+1)(x-3)}\mathrm{\&}\frac{x+3}{(x+1)(x-2)}\end{array}$

Giải:

$\begin{array}{l}a.\frac{3x}{x-5}=\frac{-(3x)}{-(x-5)}=\frac{-3x}{5-x}\\ \frac{7x+2}{5-x}\\ b.\frac{4x}{x+1}=\frac{4x(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{4x^2-4x}{x^2-1}\\ \frac{3x}{x-1}=\frac{3x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+3x}{x^2-1}\\ c.\frac{2}{x^2+8x+16}=\frac{4}{2{(x+4)}^2}\\ \frac{x-4}{2x+8}=\frac{(x-4)(x+4)}{2(x+4)(x+4)}=\frac{x^2-16}{2{(x+4)}^2}\\ d.\frac{2x}{(x+1)(x-3)}=\frac{2x(x-2)}{(x+1)(x-3)(x-2)}=\frac{2x^2-4x}{(x+1)(x-3)(x-2)}\\ \frac{x+3}{(x+1)(x-2)}=\frac{(x+3)(x-3)}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{x^2-9}{(x+1)(x-2)(x-3)}\end{array}$

II. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Cho phân thức $\frac{2}{\left(x-1\right)}$, nhân cả tử và mẫu với đa thức (x + 1) ta được phân thức mới là ?

Nhân cả tử và mẫu với đa thức (x + 1) ta được phân thức mới là

Ta có

(áp dụng hằng đẳng thức A² - B² = ( A - B )( A + B ) )

Chọn đáp án C.

Bài 2: Với giá trị nào của x thì hai phân thức $\frac{(x - 2)}{(x^2 - 5x + 6)}$ và $\frac{1}{\left(x-3\right)}$ bằng nhau ?

A. x = 2   

B. x = 3

C. x ≠ 2, x ≠ 3.   

D. x = 0.

Lời giải:

+ Giá trị của phân thức $\frac{\left(x-2\right)}{\left(x^2-5x+6\right)}$ được xác định khi và chỉ khi x² - 5x + 6 ≠ 0

⇔ ( x - 3 )( x - 2 ) ≠ 0 hay x ≠ 2,x ≠ 3.

+ Giá trị của phân thức $\frac{1}{\left(x-3\right)}$ được xác định khi và chỉ khi x - 3 ≠ 0 hay x ≠ 3.

Với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có:

Vậy với x ≠ 2,x ≠ 3 ta có: $\frac{\left(x-2\right)}{\left(x^2-5x+6\right)}$ = $\frac{1}{\left(x-3\right)}$

Chọn đáp án C.

Bài 3: Phân thức $\frac{2}{\left(x+3\right)}$ bằng với phân thức nào dưới đây ?

Lời giải:

+

⇒ Đáp án A sai.

+

⇒ Đáp án B sai.

+

⇒ Đáp án C đúng.

+

⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 4: Điền vào chỗ trống đa thức sao cho:

   A. x² - 4x.

   B. x² + 4x.

   C. x² + 4.

   D. x² - 4.

Lời giải:

Gọi A là đa thức cần tìm thỏa mãn A( x - 4 ) = x( $x^2$ - 16 )

Ta có: A( x - 4 ) = x( x - 4 )( x + 4 ) ⇒ A = x( x + 4 ) = $x^2$ + 4x

Chọn đáp án B.

Bài 5: Dùng quy tắc đổi dấu, hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống để được đẳng thức:

   A. 2y- x     B. x – 2y

   C. 2y + x     D. – 2y – x

Áp dụng quy tắc đổi dấu ta có:

Vậy đa thức cần điền là x – 2y

Chọn đáp án B

Bài 6: Áp dụng tính chất cơ bản của phân số, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

A. 2y(x – y)    

B. y(x + y)

C. 2x(x + y)    

D. 2y (x + y)

Lời giải:

Ta có:

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là 2y(x+ y)

Chọn đáp án D

Bài 7: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống sau:

 A. 5xy    

B.5x

C. 5y   

D. 5x²y

Lời giải:

Ta có:

Vậy đa thức cần điền là: 5xy

Chọn đáp án A

Bài 8: Điền đa thức thích hợp vào chỗ trống sau:

A. 10x - 10y    

B. 10 - 10x

C. 10.(1 – xy)   

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

Vậy đa thức cần điềm vào chỗ chấm là: 10(1 - xy )

Chọn đáp án C

Bài 9: Tìm a biết:

A. a = 2    

B. a = 1

C. a = 4    

D. a = - 2

Lời giải:

Mà  nên a = 2

Chọn đáp án A

Bài 10: Dùng quy tắc đổi dấu, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống

A. x – 1    

B. xy – 1

C. x(y – 1)    

D. x(x – 1)

Lời giải:

Chọn đáp án D

III. Bài tập tự luận

Bài 1: Cho A = . Có bao nhiêu giá trị của x để A = 0?

Lời giải

Ta có

x⁴ - 10x² + 9 = x⁴ - x² - 9x² + 9 = x²(x² - 1) - 9(x² - 1) = (x² - 1)(x² - 9)

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn đề bài x = 2; x = -2.

Bài 2: Cho B = . Có bao nhiêu giá trị của x để B = 0.

Lời giải

Ta có: x⁴ - 4x² = x²(x - 4) = x²(x - 2)(x + 2)

Điều kiện:

Vậy có bốn giá trị của x thỏa mãn đề bài x = 4; x = -4; x = 1; x = -1.

Bài 3: Với x ≠ y, hãy viết phân thức  dưới dạng phân thức có tử là x² - y²?

Lời giải

Ta có:

Bài 4: Với x ≠ y, hãy viết phân thức  dưới dạng phân thức có mẫu là x⁵y²(x - y)?

Lời giải

Nhân cả tử và mẫu của phân thức  với x⁴y²(x - y) ta được:

Ta có:

Bài 5: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức C biết ?

Lời giải

Vậy C = x(x + 2).

Bài 6: Hãy dùng tính chất cơ bản của phân thức để điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống

Lời giải:

Vế phải là kết quả phép chia tử của vế trái x⁵ – 1 cho x – 1.

Vậy phải điền x⁴ + x³ + x² + x + 1 vào chỗ trống.

Bài 7

Cho phân thức $\frac{x}{3}$. Hãy nhân cả tử và mẫu của phân thức này với x + 2 rồi so sánh phân thức vừa nhận được với phân thức đã cho.

Lời giải

Nhân tử số: x.(x + 2) = x² + 2x

Nhân mẫu số: 3.(x +2) = 3x + 6

⇒ x(3x + 6) = 3(x² + 2x) = 3x² + 6x

Vậy :

Bài 8: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy giải thích vì sao có thể viết:

Lời giải:

Bài 9

Hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số.

Lời giải

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì được một phân số bằng phân số đã cho.

Bài 10: Trong tờ nháp của một bạn có ghi các phép rút gọn phân thức như hình sau:

Theo em câu nào đúng, câu nào sai? giải thích.

Lời giải:

Đúng vì rút gọn sau khi đã chia cả tử và mẫu của vế trái cho 3y.

b) Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu ở vế trái cho 3y + 1 vì 9y + 3 = 3(3y + 1).

Nhưng tử của của vế trái không có nhân tử 3y + 1. Vì vậy phép rút gọn này sai.

c) Sai, vì y không phải là nhân tử chung của tử và mẫu của vế trái.

d) Đúng, vì đã rút gọn phân thức ở vế trái với nhân tử chung là 3(y + 1).

IV. Bài tập vận dụng

Xem thêm các dạng Toán hay, chọn lọc khác :

60 Bài tập về Tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Rút gọn phân thức (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập phép cộng các phân thức đại số (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phép trừ các phân thức đại số (có đáp án năm 2023)