Giải bài toán bằng cách lập phương trình và cách giải - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình là đưa những bài trong thực tế về phương trình toán học để tìm ra đáp án thỏa mãn điều kiện ban đầu.

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm có 3 bước

Bước 1: Lập phương trình

- Đặt ẩn và tìm dữ kiện phù hợp với ẩn;

- Biểu diễn các dữ kiện bài toán chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình đã lập.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện và đưa ra kết luận của bài toán.

Chú ý: Một số chú ý về chọn ẩn như sau:

+ Thông thường bài toán tìm đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

+ Nếu x biểu thị là chữ số thì $\text{0}\le \text{x}\le \text{9;x}\in \mathbb{N}$.

+ Nếu x biểu thị số tuổi, số sản phẩm, số học sinh,… thì $x\in {\mathbb{N}}^{*}$

+ Nếu x biểu thị các đại lượng đo lường như thời gian; vận tốc; quãng đường… thì $x>0$.

II. Các dạng bài

Dạng 1: Bài toán so sánh, thêm bớt

Phương pháp giải: Vận dụng các dữ kiện của bài toán để lập phương trình và giải theo các bước đã được nêu ở phần lí thuyết.

Ví dụ 1: Học kỳ một, số học sinh giỏi của lớp 8A chiếm $\frac{1}{8}$ học sinh cả lớp. Sang kỳ hai, lớp 8A có thêm 3 học sinh giỏi nữa và lúc này số học sinh giỏi chiếm $\frac{1}{5}$ học sính cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh.

Lời giải:

Gọi số học sinh cả lớp là x $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Vì học kỳ một số học sinh giỏi chiếm $\frac{1}{8}$học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kỳ một là $\frac{1}{8}x$ (học sinh)

Vì học kỳ hai có thêm 3 học sinh giỏi nữa nên số học sinh giỏi kỳ hai là $\frac{1}{8}x$+3 (học sinh)      (1)

Mặt khác số học sinh giỏi kỳ hai bằng $\frac{1}{5}$ số học sinh cả lớp nên số học sinh giỏi kỳ hai là $\frac{1}{5}x$ (học sinh)    (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

$\frac{1}{5}x=\frac{1}{8}x+3$

$\iff \frac{1}{5}x-\frac{1}{8}x=3$

$\iff \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)x=3$

$\iff \frac{3}{40}x=3$

$\iff x=3:\frac{3}{40}$

$\iff x=40\text{ (tm)}$

Vậy lớp 8A có 40 học sinh.

Ví dụ 2: Hai rổ cam có tất cả 96 quả. Nếu chuyển 4 quả từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số quả cam trong rổ thứ nhất bằng $\frac{3}{5}$ số quả cam trong rổ thứ 2. Tìm số cam mỗi rổ.

Lời giải:

Gọi số cam trong rổ thứ nhất là x$\left(x\in {\mathbb{N}}^{*}\mathrm{,3}<x<96\right)$.

Vì tổng số cam hai rổ là 96 quả cam nên số cam rổ thứ hai là 96 – x (quả).

Khi chuyển 4 quả cam từ rổ thứ nhất sang rổ thứ 2 thì số cam rổ thứ nhất là x – 4 (quả), số cam trong rổ thứ hai là (96 – x + 4) (quả)

Sau khi chuyển số cam trong rổ thứ nhất bằng $\frac{3}{5}$só cam trong rổ thứ hai nên ta có phương trình:

(x – 4) = $\frac{3}{5}$(96 – x + 4)

$\iff x-4=\frac{3}{5}\left(100-x\right)$

$\iff x-4=60-\frac{3}{5}x$

$\iff x+\frac{3}{5}x=60+4$

$\iff \left(1+\frac{3}{5}\right)x=64$

$\iff \frac{8}{5}x=64$

$\iff x=64:\frac{8}{5}$

$\iff x=40\text{ (tm)}$

Số cam của rổ thứ nhất là 40 (quả)

Số cam của rổ thứ hai là 96 – 40 = 56 (quả).

Dạng 2: Bài toán chuyển động

Phương pháp giải: Sử dụng một số kiến thức sau đây:

- Công thức cần ghi nhớ: S = t.v

Trong đó: S là quãng đường (km, m, …); v là vận tốc (km/h; m/s…); t là thời gian (h; s…)

- Các bài toán có lực cản (ví dụ lực cản của gió; dòng nước chảy…) thì cần chú ý kh vận tốc xuôi và vận tốc ngược so với vận tốc thực của vật và vận tốc cản như sau:

$v_{xuoi}=v_{thuc}+v_{can}$

$v_{nguoc}=v_{thuc}-v_{can}$

Ví dụ 1: Một xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội với vận tốc 42km/h rồi từ Hà Nội về Thanh Hóa với vận tốc 36km/h, vì vậy thời gian về nhiều hơn thời gan đi 45 phút. Tính quãng đường từ Thanh Hóa đi Hà Nội.

Lời giải:

Đổi 45 phút = 0,75h

Gọi quãng đường từ Thanh Hóa ra Hà Nội là x (km) $\left(x>0\right)$

Vì xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội với vận tốc 42km/h nên thời gian xe máy đi từ Thanh Hóa ra Hà Nội là $\frac{x}{42}$(h).

Vì xe máy đi từ Hà Nội về Thanh Hóa với vận tốc 36km/h nên thời gian xe máy đi từ Hà Nội về Thanh Hóa là $\frac{x}{36}$(h).

Lại có thời gian về nhiều hơn thời gian đi 0,75h nên ta có phương trình:

$\frac{x}{36}-\frac{x}{42}=\mathrm{0,75}$

$\iff x\left(\frac{1}{36}-\frac{1}{42}\right)=\mathrm{0,75}$

$\iff x\left(\frac{7}{252}-\frac{6}{252}\right)=\mathrm{0,75}$

$\iff x.\frac{1}{252}=\mathrm{0,75}$

$\iff x=\mathrm{0,75}:\frac{1}{252}$

$\iff x=189$(thỏa mãn)

Vậy quãng đường từ Thanh Hóa ra Hà Nội là 189km.

Ví dụ 2: Một ca nô khi xuôi dòng từ A đến B hết 1h 20 phút và ngược dòng hết 2h 30 phút. Biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô.

Lời giải:

Đổi 1h 20 phút =$\frac{4}{3}$ (h)

2h 30 phút = 2,5 (h)

Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h) $\left(x>3\right)$

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 3 (km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là x – 3 (km/h)

Vì ca nô đi xuôi dòng hết $\frac{4}{3}$ (h) nên quãng đường ca nô xuôi dòng là: (x + 3). $\frac{4}{3}$ (km)

Vì ca nô đi ngược dòng hết 2,5 (h) nên quãng đường ca nô ngược dòng là: (x – 3).2,5 (km)

Vì quãng đường ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng là giống nhau nên ta có phương trình:

$\frac{4}{3}\left(x+3\right)=\mathrm{2,5}\left(x-3\right)$

$\iff \frac{4}{3}x+4=\mathrm{2,5}x-\mathrm{7,5}$

$\iff \frac{4}{3}x-\mathrm{2,5}x=-\mathrm{7,5}-4$

$\iff \left(\frac{4}{3}-\mathrm{2,5}\right)x=-\mathrm{11,5}$

$\iff \frac{-7}{6}x=-\mathrm{11,5}$

$\iff x=-\mathrm{11,5}:\left(\frac{-7}{6}\right)$

$\iff x=\frac{69}{7}\text{ (tm)}$

Vậy vận tốc thực của ca nô là $\frac{69}{7}$km.

Dạng 3: Bài toán liên quan đến năng suất

Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức A = N.t với A là khối lượng công việc, N là năng suất, t là thời gian.

Ví dụ 1: Một đội lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác 40 tấn than. Nhưng khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác được 45 tấn than do đó đội hoàn thành kế hoạch trước 2 ngày và vượt mức 10 tấn than. Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác bao nhiêu tấn than.

Lời giải:

Gọi số tấn than đội phải khai thác theo kế hoạch là x (tấn) (x > 0)

Theo kế hoạch đội phải khai thác mỗi ngày 40 tấn than nên thời gian đội hoàn thành kế hoạch là $\frac{x}{40}$(ngày).

Thực tế, mỗi ngày đội khai thác 45 tấn than do đó đội đã vượt năng xuất 10 tấn nên số than thực tế đội khai thác được là x + 10 (tấn).

Số ngày thực tế đội đã khai thác than là $\frac{x+10}{45}$(ngày).

Do số ngày thực tế ít hơn số ngày dự định là 2 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{x}{40}-\frac{x+10}{45}=2$

$\iff \frac{x.9}{360}-\frac{\left(x+10\right).8}{360}=2$

$\iff \frac{9x}{360}-\frac{8x+80}{360}=2$

$\iff \frac{9x-8x-80}{360}=2$

$\iff \frac{x-80}{360}=2$

$\iff x-80=2.360$

$\iff x-80=720$

$\iff x=720+80$

$\iff x=800\text{ (tm)}$

Vậy theo dự định đội cần khai thác 800 tấn than.

Ví dụ 2: Một xí nghiệm dự định sản xuất 300 sản phẩm trong 1 ngày. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày xí nghiệm sản xuất thêm được 100 sản phẩm do đó xí nghiệp không những hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 1 ngày mà làm thêm được 600 sản phẩm. Tính số sản phẩm thực tế xí nghiệp dự định làm.

Lời giải:

Gọi số sản phẩm xí nghiệm dự định làm là $\left(x>0;x\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

Vì mỗi ngày xí nghiệp dự định làm 300 sản phẩm nên thời gian dự định là $\frac{x}{300}$(ngày).

Mỗi ngày xí nghiệp làm được thêm 100 sản phẩm nên số sản phẩm xí nghiệp làm được trong một ngày là 400 sản phẩm.

Do vượt mức 600 sản phẩm nên số sản phẩm thực tế xí nghiệp làm được là x + 600 (sản phẩm).

Thời gian thực tế xí nghiệp đã làm là $\frac{x+600}{400}$(ngày)

Vì hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình

$\frac{x}{300}-\frac{x+600}{400}=1$

$\iff \frac{4x}{1200}-\frac{3\left(x+600\right)}{1200}=1$

$\iff \frac{4x}{1200}-\frac{3x+1800}{1200}=1$

$\iff \frac{4x-3x-1800}{1200}=1$

$\iff \frac{x-1800}{1200}=1$

$\iff x-1800=1200$

$\iff x=1800+1200$

$\iff x=3000\text{ (tm)}$

Vậy theo kế hoạch xí nghiệp cần sản xuất 3000 sản phẩm.

Dạng 4: Bài toán hình học

Phương pháp giải: Ta cần ghi nhớ các công thức về chu vi, diện tích các hình như hình tam giác, hình chữ nhật,...

Một số công thức:

- Diện tích hình chữ nhật là: S = ab (đơn vị diện tích)

- Chu vi hình chữ nhật là C = (a + b).2 (đơn vị độ dài)

Với a, b là chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật

- Diện tích  hình vuông $a^2$(đơn vị diện tích)

Với a là độ dài cạnh hình vuông

- Định lý Py – ta – go trong tam giác vuông $a^2=b^2+c^2$

Với a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông, b, c là độ dài hai cạnh góc vuông.

Ví dụ 1: Một khu vườn có chiều dài hơn chiều rộng 12m. Nếu tăng chiều dài 3m và giảm chiều rộng đi 1,5m thì diện tích khu vườn không đổi. Tính chu vi khu vườn ban đầu.

Lời giải:

Gọi chiều dài của khu vườn cần tính là x (m) (x > 12)

Vì chiều dài hơn chiều rộng 12m nên chiều rộng của khu vườn là x – 12 (m)

Diện tích ban đầu của khu vườn là x(x – 12) $m^2$.

Nếu tăng chiều dài lên 3m thì chiều dài mới của khu vườn là x + 3 (m)

Nếu giảm chiều rộng đi 1,5m thì chiều rộng mới của khu vườn là x – 12 – 1,5 (m)

Diện tích khu vườn sau khi thay đổi kích thước là (x + 3)(x – 13, 5) $m^2$

Vì diện tích khu vườn sau khi thay đổi bằng diện tích khu vườn ban đầu nên ta có phương trình:

$\left(x+3\right)\left(x-\mathrm{13,5}\right)=x\left(x-12\right)$

$\iff x^2+3x-\mathrm{13,5}x-\mathrm{40,5}=x^2-12x$

$\iff x^2+3x-\mathrm{13,5}x-\mathrm{40,5}-x^2+12x=0$

$\iff \left(x^2-x^2\right)+\left(3x-\mathrm{13,5}x+12x\right)-\mathrm{40,5}=0$

$\iff \mathrm{1,5}x=\mathrm{40,5}$

$\iff x=\mathrm{40,5}:\mathrm{1,5}$

$\iff x=27$

Vậy chiều dài của khu vườn là 27m

Vì chiều rộng kém chiều dài 12m nên chiều rộng của khu vườn là 27 – 12 = 15m.

Chu vi khu vườn ban đầu là:

(27 + 15).2 = 84m.

Ví dụ 2: Một tam giác vuông có chu vi 60m và cạnh huyền là 25m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đã cho.

Lời giải:

Vì chu vi của tam giác là 60m và cạnh huyền là 25m nên tổng độ dài hai cạnh góc vuông là 60 – 25 = 35m.

Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m), khi đó cạnh góc vuông thứ 2 là 35 – x (m).

Giả sử cạnh góc vuông thứ nhất lớn hơn hoặc bằng cạnh góc vuông thứ hai nên ta có $x\ge \mathrm{17,5}$.

Áp dụng định lý Py – ta - go cho tam giác vuông ta có phương trình:

${\left(35-x\right)}^2+x^2={25}^2$

$\iff 1225-70x+x^2+x^2=625$

$\iff 2x^2-70x+1225-625=0$

$\iff 2x^2-70x+600=0$

$\iff 2x^2-40x-30x+600=0$

$\iff 2x\left(x-20\right)-30\left(x-20\right)=0$

$\iff \left(2x-30\right)\left(x-20\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x-30=0\\ x-20=0\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x=30\\ x=20\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=15\text{ (ktm)}\\ x=20\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Vậy cạnh góc vuông thứ nhất của tam giác là 20m

Cạnh góc vuông thứ hai của tam giác là 35 – 20 = 15m.

Dạng 5: Bài toán tính tuổi

Phương pháp giải: Ta vận dụng các dữ liệu của đề bài để lập phương trình.

Chú ý: Sau mỗi năm thì tuổi của mỗi người tăng thêm 1 nhưng hiệu số tuổi của hai người là không đổi.

Ví dụ 1: Biết rằng cách đây 4 năm tuổi anh gấp 5 lần tuổi em. Hiện nay, tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Tính tuổi anh, tuổi em.

Lời giải:

Gọi tuổi em cách đây 4 năm là x (tuổi) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$

Vì tuổi anh cách đây 4 năm gấp 5 lần tuổi em nên tuổi anh cách đây 4 năm là 5x (tuổi).

Tuổi em hiện nay là x + 4 (tuổi), tuổi anh hiện nay là 5x + 4 (tuổi).

Vì hiện nay tuổi anh gấp ba lần tuổi em nên ta có phương trình

3(x + 4) = (5x + 4)

$\iff 3x+12=5x+4$

$\iff 5x-3x=12-4$

$\iff 2x=8$

$\iff x=4$(thỏa mãn)

Tuổi em hiện nay là: 4 + 4 = 8 (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là: 3.8 =24 (tuổi).

Ví dụ 2: Hiệu số tuổi của anh và em là 8. Tính tuổi của mỗi người hiện nay biết rằng tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay.

Lời giải:

Gọi tuổi em hiện nay là x (tuổi) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*};x>4\right)$

Vì hiệu số tuổi hai anh em là 8 tuổi nên số tuổi của anh hiện nay là x + 8 (tuổi).

Tuổi em các đây 4 năm là x – 4 tuổi.

Vì tuổi em cách đây 4 năm bằng nửa tuổi anh hiện nay nên ta có phương trình:

2(x – 4) = x + 8

$\iff 2x-8=x+8$

$\iff 2x-x=8+8$

$\iff x=16$(thỏa mãn)

Tuổi em hiện nay là 16 tuổi

Tuổi anh hiện nay là 16 + 8 = 24 (tuổi).

Dạng 6: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm.

Phương pháp giải: Dựa vào dữ kiện bài toán để lập phương trình

Chú ý: Nếu xí nghiệp cần làm x sản phẩm nhưng quá trình làm việc vượt mức a% thì số sản phẩm làm được là (100 + a)%.x (sản phẩm).

Ví dụ 1: Trong tháng đầu tiên hai tổ công nhân làm được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% nên cả hai tổ làm được 945 sản phẩm trong tháng thứ hai. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được trong tháng một.

Lời giải:

Gọi số sản phẩm tổ I làm được trong tháng đầu tiên là x (sản phẩm) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*};x<800\right)$.

Vì cả hai tổ làm được 800 sản phẩm nên tổ hai làm được 800 – x (sản phẩm).

Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên số sản phẩm tổ I làm được là (100 + 15)%.x (sản phẩm)

Tháng thứ hai tổ II vượt mức 20 % nên số sản phẩm tổ II làm được là (100 + 20)%.(800 – x) (sản phẩm)

Vì tháng thứ hai cả hai tổ làm được 945 sản phẩm nên ta có phương trình:

(100 +  15)%x+ (100 + 20) %.(800 – x) = 945

$\iff$1,15x + 1,2(800 – x) = 945

$\iff \mathrm{1,15}x+960-\mathrm{1,2}x=945$

$\iff \mathrm{1,15}x+960-\mathrm{1,2}x=945$

$\iff -\mathrm{0,05}x=-15$

$\iff x=(-15):(-\mathrm{0,05})$

$\iff x=300$(thỏa mãn)

Số sản phẩm tổ I làm được trong tháng thứ nhất là 300 (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ hai làm được trong tháng thứ nhất là 800 – 300 = 500 (sản phẩm).

Ví dụ 2: Năm 2016 tổng số dân của hai tỉnh Nam Định và Bắc Ninh là 4 triệu người. Năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2%, số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1%. Tổng số dân hai tỉnh năm 2017 là 4045000 người. Tính số dân mỗi tỉnh năm 2016.

Lời giải:

Gọi số dân của tình Bắc Ninh năm 2016 là x (dân) $\left(x\in {\mathbb{N}}^{*};x<4000000\right)$.

Vì tổng số dân của hai tỉnh Nam Định và Bắc Ninh năm 2016 là 4000000 nên số dân tỉnh nam Định là 4000000 – x (dân).

Vì năm 2017 số dân tỉnh Bắc Ninh tăng 1,1% nên số dân tỉnh Bắc Ninh năm 2017 là (100 + 1,1)%.x (dân).

Vì năm 2017 số dân tỉnh Nam Định tăng 1,2% nên số dân tỉnh Nam Định năm 2017 là (100 + 1,2)%.(4000000 – x) (dân)

Mà số dân hai tỉnh năm 2017 là 4045000 dân nên ta có phương trình:

(100 +1,1%).x + (100 + 1,2)%.(4000000 – x) = 4045000

$\iff \mathrm{1,011}x+\mathrm{1,012.}\left(4000000-x\right)=4045000$

$\iff \mathrm{1,011}x+4048000-\mathrm{1,012}x=4045000$

$\iff -\mathrm{0,001}x=4045000-4048000$

$\iff -\mathrm{0,001}x=-3000$

$\iff x=(-3000):(-\mathrm{0,001})$

$\iff x=3000000$(thỏa mãn)

Số dân của Bắc Ninh là 3000000 dân

Số dân của Nam Định 4000000 – 3000000 = 1000000 dân

II. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một người nông dân có một mảnh ruộng hình vuông, ông ta khai hoang và mở rộng mảnh ruộng của mình thành hình chữ nhật một bề thêm 8m một bề thêm 12m. Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật hơn diện tích mảnh ruộng hình vuông là 3136$m^2$. Hỏi độ dài cạnh của mảnh ruộng hình vuông ban đầu là bao nhiêu.

Bài 2: Một ô tô đi hết quãng đường mất 8h. Đầu tiên ô tô đi với vận tốc 40km/h, sau đó nó đi với vận tốc 60km/h. Biết quãng đường AB dài 360km. Hỏi ô tô đã đi hết bao nhiêu thời gian với vận tốc 40km/h.

Bài 3: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80km cả đi và về hết 8 giời 20 phút. Biết vận tốc dòng nước là 4km/h. Tính vận tốc tàu thủy khi nước đứng yên.

Bài 4: Mẹ hơn con 24 tuổi. Sau 2 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tìm tuổi hai mẹ con.

Bài 5: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3cm. Chu vi mảnh đất là 100cm. Tính diện tích hình chữ nhật đó.

Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi. Nếu thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút, tính vận tốc khi người đó đi từ A đến B.

Bài 7: Một xưởng dệt theo kế hoạch mỗi ngày phải dệt 45 chiếc khăn. Trong thực tế, mỗi ngày xưởng dệt được 50 chiếc khăn nên đã hoàn thành kế hoạch trước 6 ngày và làm thêm được 15 chiếc khăn. Hỏi theo kế hoạch xưởng cần dệt bao nhiêu chiếc khăn.

Bài 8: Một hợp tác xã dự định mỗi tuần đánh 20 tấn cá. Nhưng do vượt mức kế hoạch 6 tấn/tuần nên chẳng những hoàn thành trước kế hoạch 1 tuần mà còn vượt mức 10 tấn cá. Tính số tấn cá mà hợp tác xã dự định đánh bắt.

Bài 9: Một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị gấp ba lần chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được số mới lớn hơn số cũ 54 đơn vị. Tìm số ban đầu.

Bài 10: Số học sinh khá của khối 8 bằng $\frac{5}{2}$ số học sinh giỏi của khối 8. Nếu số học sinh giỏi thêm 10 bạn và số học sinh khá giảm đi 6 bạn thì số học sinh khá gấp 2 lần số học sinh giỏi. Tính số học sinh khá, học sinh giỏi của khối 8.

Bài 11: Sau khi nhận kế hoạch của xí nghiệp; một tổ sản xuất dự định mỗi ngày sản xuất 30 sản phẩm, nhưng khi thực hiện mỗi ngày tổ sản xuất được 40 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành sớm hơn kế hoạch 2 ngày và làm thêm được 40 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

Bài 12: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 350 chi tiết máy. Sang tháng thứ II, tổ I vượt mức 20% và tổ II vượt mức 30% nên cả hai tổ sản xuất được 435 chi tiết máy. Hỏi trong thàng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy.

Bài 13: Tuổi bố hiện nay gấp 2,4 lần tuổi con. Biết 5 năm trước đây tuổi bố gấp 2,75 lần tuổi con. Tính tuổi bố, tuổi con hiện nay.

Bài 14: Một phân số dương có mẫu số lớn hơn tử số 11 đơn vị. Nếu tăng tử số thêm 3 đơn vị và giảm mẫu số đi 4 đơn vị thì ta được phân số mới có giá trị bằng phân số$\frac{3}{4}$ . Tìm phân số đó.

Bài 15: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 56m. Nếu tăng chiều dài thêm 4m và chiều rộng thêm 4m thì diện tích mới lớn hơn diện tích cũ là 18$m^2$. Tính chiều dài chiều rộng khu vườn này.

Bài 16: Hai thư viện có tất cả 15000 cuốn sách. Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai 3000 cuốn sách thì số sách ở hai thư viện bằng nhau. Tính số sách ban đầu của mỗi thư viện.

Bài 17: Một ô tô đi từ Thanh Hóa về Hà Nội. Sau khi đi được 43km ô tô dừng lại 40 phút. Để về Hà Nội kịp giờ dự định ô tô phải đi với vận tốc gấp 1,2 lần vận tốc cũ. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết quãng đường từ Thanh Hóa ra Hà Nội là 163km.

Bài 18: Một ca nô chạy trên khúc sông với hai bến A và B. Biết rằng khi xuôi dòng từ A đến B ca nô chạy hết 8h và ngược dòng từ B về A ca nô chạy hết 10h. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc dòng nước là 3km/h.

Bài 19: Một người đi xe máy từ nhà đến công ty với vận tốc 40km/h. Người đó ở lại công ty làm việc trong 3h rồi đi xe máy quay về nhà với vận tốc 30km/h tổng cộng thời gian hết 6h 30 phút. Tính quãng đường từ nhà đến công ty.

Bài 20: Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc dự định là 50km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường với vận tốc dự định thì ô tô giảm vận tốc và di chuyển với vận tốc 30km/h. Vì vậy khi cách B 48km thì người đó đã hết thời gian dự định. Tính quãng đường AB.