500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024)

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

Kiến thức cần nhớ

1. Vecto trong không gian

1.1. Định nghĩa và các phép toán về vecto trong không gian.

1.1.1. Định nghĩa

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB chỉ vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Vecto còn được kí hiệu là a;  b;  x;  y....

- Các khái niệm liên quan đến vecto như giá của vecto, độ dài của vecto, sự cùng phương, cùng hướng của vecto, vecto – không, sự bằng nhau của hai vecto ….được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

1.1.2. Phép cộng và phép trừ vecto trong không gian,

- Phép cộng và phép trừ của hai vecto trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai vecto trong mặt phẳng.

- Phép cộng vecto trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vecto trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng vecto trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với vecto trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA+​  BC=  BA  +​  DC

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: DA  =DC+CA

Ta có: 

DA+​  BC=DC+CA   +​  BC=  DC+​  BC+​  CA=  DC  +​  BA

( điều phải chứng minh).

1.2. Điều kiện đồng phẳng của ba vecto.

1.2.1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vecto trong không gian.

Trong không gian cho ba vecto a;b;  c  0. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: OA  =a;OB  =b;OC=  c thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba vecto a;b;  c   không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA; OB; OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba vecto a;b;  c   đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các vecto a;b;  c   luôn luôn song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vecto nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

1.2.2. Định nghĩa:

Trong không gian ba vecto được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành  ABEF  và K  là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD,IK,GF đồng phẳng.

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Xét  tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là  đường trung bình của tam   giác.

 IK// AC nên  IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : IK//(ABCD)GF//(ABCD)BD(ABCD)  

BD,IK,GF đồng phẳng.

1.2.3. Điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

Định lí 1.

Trong không gian cho hai vecto a;b không cùng phương và vecto c. Khi đó, ba vecto a;  b;  c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m; n sao cho c  =  ma+n  b. Ngoài ra, cặp số m; n là suy nhất.

- Định lí 2.

Trong không gian cho ba vecto không đồng phẳng a;  b;  c. Khi đó, với mọi vecto ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x  =ma+n  b+p  c. Ngoài ra, bộ ba số m; n; p là duy nhất.

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi M  là trung điểm của  BB’ . Đặt CA  =a;  CB=b;AA'=  c. Phân tích vecto AM theo a;  b;  c.

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

 Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai vecto ta có :

AM=AB+BM=CBCA+12BB' (vì  M là  trung  điểm của BB’) .

=ba+12AA'=ba+12c

2. Hai đường thẳng vuông góc

2.1. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

2.1.1. Góc giữa hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa.  Trong không gian, cho u;  v là hai vecto khác vecto- không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB=u;  AC  =v. Khi đó, ta gọi góc BAC^  (00  BAC^  1800) là góc giữa hai vecto u;  v trong không gian.

Kí hiệu là (u;  v).

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2.2. Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

- Định nghĩa:

Trong không gian có hai vecto u;  v đều khác vecto- không . Tích vô hướng của hai vecto là một số, kí hiệu là u;  v, được xác định bởi công thức: u.v  =u.v.cos u;  v

Trường hợp u=  0 hoặc v=  0 ta quy ước: u.  v = 0.

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA= SB= SC và ASB^  =  BSC^  =  CSA^. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SC và AB?

Lời giải :

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có

SC.AB=SC.SBSA=SC.SBSC.SA=SC.SB.cosSC.SBSC.SA.cosSC.SA=SC.SB.cosBSC^ SC.SA.cosASC^

Vì SA= SB= SC và ASB^  =  BSC^  =  CSA^SC.AB=0

Ta lại có:

SC.SA=SC.SA.cosSC,SAcosSC,SA=0

Do đó SC;  AB=900.

2.2.1. Định nghĩa.

Nếu a khác vecto - không được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vecto a song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2.2.2 Nhận xét.

a) Nếu a là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì vecto ka   (k0) cũng là vecto chỉ phương của d.

b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc đường thẳng d và một vecto chỉ phương của nó.

c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vecto chỉ phương cùng phương.

2.3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

2.3.1. Định nghĩa:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b.

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

2.3.2. Nhận xét.

a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

b) Nếu u là vecto chỉ phương của đường thẳng a và là v vecto chỉ phương của đường thẳng b và (u;  v)=  α thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 00α900 và bằng 1800α nếu 900<α1800.

Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.

Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.  Tính góc giữa AC và DA’

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi a là độ dài cạnh hình lập phương.

Khi đó, tam giác AB’C đều (AB’ = B’C= CA = a2)

Do đó B'CA^  =600.

Lại có, DA’ song song CB’  nên  

(AC ; DA’) = (AC ; CB’) = B'CA^  =600.

2.4. Hai đường thẳng vuông góc.

2.4.1. Định nghĩa.

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 900.

Ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a    b.

2.4.2. Nhận xét

a) Nếu u;  v lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì a    bu.v   =0.

b) Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

c) Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 3.  Cho tứ diện ABCD có AB= AC= AD  và BAC^  =  BAD^=600;  CAD^=  900. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB  và CD. Chứng minh hai đường thẳng AB và IJ vuông góc với nhau.

Lời giải:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD  IJ=12IC+ID.

Tam giác ABC có AB = AC và BAC^=600 nên tam giác ABC đều

CIAB.  (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD  đều nên DI  AB.  ( 2)

Từ  (1) và (2) ta có :

IJ.AB=12IC+ID.AB          =12IC.AB+12ID.AB=0IJ  ABIJAB

3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

3.1. Định nghĩa

- Đường thẳng d được gọi là vuông góc vơi mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α).

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Khi d vuông góc với (α) ta còn nói (α) vuông góc với d hoặc d và (α) vuông góc với nhau và kí hiệu là d(α)

3.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc mặt phẳng

- Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có hai tam giác ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minhh AB vuông góc với mặt phẳng (CDI).

Lời giải

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Khi đó, AB(CDI) trong đó I là trung điểm của AB.

Thật vậy, vì ABC và ABD là các tam giác đều nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao : CIAB;  DIAB

Suy ra: AB(CDI).

3.3. Tính chất.

- Tính chất 1. Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.

Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

- Tính chất 2. Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

3.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

- Tính chất 1.

a) Cho hai đường thẳng song song.Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc  với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

- Tính chất 2.

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông  góc với mặt phẳng này thì cũng vuông  góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

-  Tính chất 3.

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng ( không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA(ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của  AB, BC và  SBChứng minh:

a) (IJK) // (SAC).

b) BD(SAC)

c) BD(IJK).

 Lời giải:

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Tam giác ABC có IJ Là  đường trung bình của tam  giác  nên  IJ // AC   (1)

Tam giác  SAB có IK là đường trung bình của tam giác  nên IK// SA  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: (IJK) // (SAC) .

b) Do  BD  AC;  BDSA

Mà BD, AC  (SAC) nên  BD(SAC)

c) Do BD(SAC) và (IJK) // ( SAC) nên BD(IJK)

3.5. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc.

3.5.1. Phép chiếu vuông góc.

Cho đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α). Phép chiếu song song theo phương của ∆ lên mặt phẳng (α) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α).

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Nhận xét: Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

3.5.2. Định lí ba đường vuông góc.

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

3.5.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Định nghĩa:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).

+ Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 900.

+ Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Khi d không vuông góc với (α) thì d cắt (α) tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác điểm O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (α) và φ là góc giữa d và (α) thì AOH^  =  φ

Chú ý: Nếu là góc giữa d và mặt phẳng (α) thì ta luôn có: 00  φ  900.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và ( ABC).

Lời  giải:

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi H  là trung điểm của  BC.

Vì tam giác ABC vuông góc tại A có đường trung tuyến AH nên suy ra AH=BH=CH=12BC=a2

Ta có: 

SHABCSH=SB2BH2=a32SA,ABC^=  (SA;  AH)=SAH^=αtanα=SHAH=3α=60°

4. Hai mặt phẳng vuông góc

4.1. Góc giữa hai mặt phẳng

4.1.1. Định nghĩa:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

- Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 00.

4.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.

- Giả sử 2 mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c. Từ một điểm I bất kì trên c ta dựng trong (α) đường thẳng a vuông góc với c và dựng trong (β) đường thẳng b vuông góc với c.

- Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b.

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC có SA  (ABC);ABBC, gọi I  là trung điểm BC. Ta xác định góc giữa hai mặt phẳng ( SBC) và ( ABC) :

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

Ta có:

BCSA,BCABBC  (SAB)BCSBSBCABC=BCABBC,ABABCSBBC,SBSBCSBC,ABC^=SBA^

4.1.3. Diện tích hình chiếu của một đa giác.

Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng (α) có diện tích S và H’ là hình chiếu vuông góc của H lên mp(β).

Khi đó, diện tích S’ của H’ được tính theo công thức:

S'= ​S.cosφ với là góc giữa (α)  và (β).

4.2. Hai mặt phẳng vuông góc.

4.2.1. Định nghĩa.

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu: (α)(β).

4.2.2. Các định lí.

- Định lí 1.

Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

- Hệ quả 1.

Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Hệ quả 2.

Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Nếu từ một điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (β) thì đường thẳng này nằm trong mặt phẳng (α).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có . Trong  tam  giác  BDC vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau ở O. Trong( ADC) vẽ  tại K. Chứng minh

a) (ADC)(ABE)

b) (ADC)  (DFK)

c) (BCD)(ABE)

Lời giải:

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

a) Ta có 

CDBECDABCDABECDADCADCABE

b) Ta có:

DFBCDFABDFABC

Mà SCABCDFACDKAC

ACDFKACADCADCDFK

c) Ta có 

CDBECDABCDABECDBDCBDCABE

4.3. Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

4.3.1. Định nghĩa.

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy. Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác… được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác…

- Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.

Ta có các loại hình lăng trụ đều như  lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều..

- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.

- Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương.

4.3.2. Nhận xét

Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật.

4.4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều.

4.4.1. Hình chóp đều.

Cho hình chóp đỉnh S có đáy là đa giác A1A2…An và H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (A1A2…An). Khi đó, đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H là chân đường cao của hình chóp.

Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

- Nhận xét:

a) Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

b) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

4.4.2. Hình chóp cụt đều.

- Định nghĩa: Phần của hình chóp đều nằm giữa đáy và một thiết diện song song với đáy cắt các cạnh bên của hình chóp đều được gọi là hình chóp cụt đều.

- Ví dụ 3: Hình ABCD.A’B’C’D’ ở hình dưới là một hình chóp cụt đều. Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều và đồng dạng với nhau.

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

Nhận xét. Các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân và các cạnh bên của hình chóp cụt đều có độ dài bằng nhau.

5. Khoảng cách

5.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, một mặt phẳng.

5.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng a. Trong mặt phẳng (O; a), gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên a. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a.

Kí hiệu: d(O; a).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' cạnh a. Tính khoảng cách từ B tới đường thẳng DB'.

Lời giải:

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Từ giả thuyết ta suy ra:  BD=  BC2+​ CD2=a2

Gọi H là hình chiếu của B lên DB' ta có: BH = d (B, DB').

Xét tam giác BB'D vuông tại B ta có:

1BH2=1B'B2+1BD2=1a2+1a22=32a2BH=a63

5.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (α). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) và được kí hiệu là d(O; (α)).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có SA  (ABC), ∆ABC là tam giác đều cạnh  a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi D là trung điểm BC. Do tam giác ABC đều nên AD  BC (1).

Trong tam giác SAD, kẻ AH  SD (2).

Do SAABCSABCADBCSAAD=ABCSADSBCSAD (3).

Từ (2) và (3), ta suy ra AH vuông góc với (SBC) nên d(A ; (SBC))= AH.

Theo giả thiết, ta có SA = AB = a, AD=a32 (đường cao trong tam giác đều cạnh a).

Tam giác SAD vuông nên

 1AH2=1SA2+1AD21AH2=1a2+43a21AH2=73a2AH=a37

5.2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

5.2.1. Khoảng cách giữa đường thẳng và măt phẳng song song.

- Định nghĩa:

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a đến mặt phẳng (α).

Kí hiệu là d(a; (α)) .

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

5.2.2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

- Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Kí hiệu: d((α); (β)).

Như vậy: d((α); (β)) = d(M; (β)) = d(M’; (α)).

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

5.3. Đường vuông góc chung và khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau.

5.3.1. Định nghĩa.

a) Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc  với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

b) Nếu đường vuông góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M; N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

5.3.2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

- Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (β) là mặt phẳng chứa b và song song với a; a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (β).

Vì a// (β) nên a// a’. Do đó; a’ cắt b tại 1 điểm là N

Gọi (α) là mặt phẳng chứa a và a’; ∆ là đường thẳng đi qua N và vuông góc với (β). Khi đó, (α) vuông góc (β).

Như vậy.∆ nằm trong (α) nên cắt đường thẳng a tại M và cắt đường thẳng b tại N.Đồng thời, ∆ vuông góc với cả a và b.

Do đó, ∆ là đường vuông góc chung của a và b.

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC.

Lời giải :

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do SABABCD và  BC    ABBCSAB.

Vì tam giác SAB đều nên gọi M là trung điểm của SA thì BMSA nên BM là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

Vậy dSA;BC=BM=a32.

5.3.3. Nhận xét

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA= a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD là

Lời giải :

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Vì SAABCD  SAAD.

Ta có: SAADABADADSABdD,SAB=DA.

Vì CDSABCD  // ABABSAB

Suy ra:  CD // (SAB) nên :

d(CD, SB) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = DA = a,

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD  là hình bình hành. Đặt SA=  a;SB=  b;SC=  c;SD=  d. Chứng minh: a+c=d+b

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi O  là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

SA+SC=2SOSB+SD=2SO (do tính chất của đường trung tuyến)

SA+SC=SB+SDa+c=d+b

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G  là trọng tâm tam giác  BCD. Đặt AB=  x;AC=  y;AD=z. Phân tích vecto theo các vecto x;  y;  z

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi M  là trung điểm CD.

Ta  có :

AG=AB+BG=AB+23BM=AB+23AMAB=AB+2312AC+ADAB=13AB+AC+AD=13x+y+zAM  =  12AC  +  AD

( do M là  trung điểm của CD)) 

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I  và  K lần lượt là tâm của hình bình hành  ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a) IK=12AC=12A'C'.                                    

b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) BD+2IK=2BC.                                        

d) Ba vectơ BD;IK;  B'C' đồng phẳng.

Lời giải:

Lý thuyết Vectơ trong không gian chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Do tính chất đường trung bình trong  tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’ nên ta có: IK=12AC=12A'C'

b) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C nên IK// AC

Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) Ta có:

BD+2IK=BC+CD+AC=BC+CD+AD+DC=BC+AD=BC+BC=2BC

d) Vì giá của ba vectơ BD;IK;  B'C' đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ=a32 ( I; J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi M; N  lần lượt là trung điểm AC; BD.

Ta có:

MI=NI=12AB=12CD=a2MI // AB // CD // NIMINJ là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: MIN^=2MIO^.

Xét tam giác MIO vuông tại O, ta có:

cosMIO^=IOMI=a34a2=32MIO^=30°MIN^=60°

Mà: AB,CD=IM,IN=MIN^=60°

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có BA = CD. Gọi  I ; J ; E ; F lần lượt là trung điểm của AC ; BC ; BD ; AD. Tính góc ( IE ; JF) 

Lời giải :

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có IF là đường trung bình của tam giác ACD IFCDIF=12CD  ( 1)

Lại có JE là đường trung bình của tam giác BCD  JECDJE=12CD ( 2)

Từ (1)  và (2) suy ra : IF = JE và IF// JE.

Suy ra, tứ giác IJEF là hình bình hành.

Mặt khác: IJ=12ABJE=12CD. Mà AB= CD nên IJ= JE.

Do đó IJEF  là hình thoi.

Suy ra ( IE ; JF) = 900.

Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD  bằng:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải :

Gọi M là trung điểm của CD.

Tam giác ACD  và tam giác BCD  là  tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung  tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao. CD.AM  =0;  CD.MB  =0;  

Do đó CD.AB=CD.AM+MB =CD.AM+CD.MB=0.

Suy ra AB  CD nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD  bằng 900

Bài 7. Cho hình chóp S. ABC có SA(ABC) và tam giác ABC vuông  ở B , AH là đường cao của  tam  giác SAB. Chứng minh:

a) BC  (SAB)

b) AH(SBC)

Lời giải:

a)  

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Do SA(ABC) và BC ⊂ ( ABC)  nên SA  BC.

Ta có:

BC  ABBCSAAB;  SA  (SAB)BC  (SAB)

b)Vì BC  (SAB)BC    AH

Lại có: SB AH  AH    (SBC)

Bài 8. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC  đôi một vuông gócGọi H là hình chiếu của O lên ( ABC). Chứng minh :

a) OABC                                  

b) 1OH2=1OA2+1OB2+1OC2.

c) H là trực tâm tam giác ABC                                                                     

Lời giải :

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Ta có:

OAOBOAOCOAOBCOABC

b) Hạ OIBCOHAI.

Ta có:

 OIBCBCOABCOAIBCOHOHABC.

Xét tam giác  AOI vuông tại O có OH đường cao :

1OH2=1OA2+1OI2=1OA2+1OB2+1OC2

c) Ta có:

 ABOCABOHABOCHABHC1.

Tương tự  BCOH  2.

Từ (1) và (2) suy ra: H  là trực tâm  tam  giác  ABC 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có . Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Chứng minh:

a) BC    (SAH)

b) HK    (SBC).

c) SH ; AK và BC đồng quy.

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

a) Ta có

  BCSA,BCSHBC(SAH)

b)Ta có

CKAB,CKSACK(SAB)   CKSB

Mặt khác có  CHSB  nên  suyra  SB(CHK) SB  HK

Tương tự,  SCHK HK(SBC)

c)  Gọi M  là giao điểm của SH và  BC.

 Do BC(SAH)  BCAM hay đường thẳng AM trùng với đường thẳng AK .

Suy ra, SH, AK và BC đồng quy.

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD  là hình vuông cạnh bằng a  và SAABCD. Biết SA=a63. Tính góc giữa SC  và ( ABCD) .

Lời giải :

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có:

SAABCDSAAC

SC;ABCD^=(SC;  CA)=SCA^=α

+ Do ABCD là hình vuông cạnh a 

AC=  AB2+​  BC2=a2,SA=a63tanα=SAAC=33α=30°

Bài 11. Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và ( ABD) cùng vuông góc với ( DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chứng minh:

a) (ABE)  (ADC)

b) (ABC)    (DFK)

c) (DFK)(ADC)

Lời giải:

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

a) Vì hai mặt phẳng ( ABC) và ( ABD) cùng vuông góc với ( DBC) nên

Ta có:

CDBECDABCDABEABEADC

b) Vì:

DFBCDFABDFABCABCDFK

c) Ta có:

ACDKACDFACDFKDFKADC

Bài 12. Cho tứ diện ABCD có AC= AD và BC= BD. Gọi I  là trung điểm của CD.

a) Chứng minh: (BCD)    (AIB) và (ACD)    (AIB)

b) Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( ACD) và ( BCD)

Lời giải:

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

a) Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD

CDBI (1)

Tam giác CAD  cân tại A có I trung điểm đáy CD

CDAI (2)

Từ  (1) và (2)  CD    (ABI)

Suy ra: (BCD)    (AIB) và (ACD)    (AIB)

b) Góc giữa hai mặt phẳng ( ACD) và ( BCD)  là

(ACD);(BCD)  =  (BI;AI)=AIB^

Bài 13. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng aTính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.

Lời giải:

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc chi tiết – Toán lớp 11  (ảnh 1)

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

+ Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều  nên SH(ABCD).

Ta có: SCDABCD=CD.

Gọi M là trung điểm CD.

+  Tam  giác  SCD là cân  tại S ; và tam  giác CHD cân tại H ( tính chất hình vuông).

SM  CD;  HM  CDSCD,ABCD=SM,HM=SMH^=α

Từ giả thiết suy ra tam giác  SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến SM=a32.

cosα=HMSM=a2a32=13

Bài 14. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Lời giải:

Kẻ AH vuông góc với BC  

SΔABC=12AH.BCAH=2.SΔABCBC=4a2a=4a

Ta có: SAABC  SABC

Lại có:  AHBC nên BC  ( SAH)

Suy ra: SHBC và khoảng cách từ S đến BC chính là SH .

+ Ta có tam giác vuông  SAH  vuông tại A nên  ta có  SH=SA2+AH2=(3a)2+(4a)2=5a

Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a, AB=a3. Khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') là:

Lời giải:

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có AA’//(BCC’B’) nên khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') cũng chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

Hạ AHBCAHBCC'B'.

Ta có

1AH2=1AB2+1AC2=13a2+1BC2AB2=13a2+1a2=43a2AH=a32

Vậy khoảng cách từ AA' đến mặt phẳng (BCC'B') bằng a32.

Bài 16. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách từ B đến (SCD).

Lời giải:

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Suy ra HM =1, SH=32 và SM=72

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) nên SHABCD.

Vì AB//CD nên AB// (SCD).

Do đó d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với HKSM trong (SHM).

Ta có: 

1HK2=1SH2+1HM2HK=217

Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B, AB = SA= a. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Khoảng cách giữa AH và BC bằng:

Lời giải:

Lý thuyết Khoảng cách chi tiết – Toán lớp 11 (ảnh 1)

Ta có AHSBAHHB.

BCABBCSABCSABBCAH (nên BCBH).

Do đó, d(BC, AH) = HB.

Tam giác SAB vuông cân tại A, AH là đường cao

BH=SB2=a2+a22=a2

Vậy dBC,AH=a2.

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2024)

90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập số gần đúng và sai số (có đáp án năm 2023)

80 Bài tập các số đặc trưng đo độ phân tán (có đáp án năm 2023)

500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 1)
Trang 1
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 2)
Trang 2
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 3)
Trang 3
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 4)
Trang 4
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 5)
Trang 5
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 6)
Trang 6
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 7)
Trang 7
500 Bài tập Toán hình 11 chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian (có đáp án năm 2024) (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!