Bài giảng Toán 8 Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Lý thuyết
Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Khi áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử, ta cần lưu ý:
- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung không, nếu có thì áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.
- Nếu không thì ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức sau đây để phân tích đa thức thành nhân tử:
1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2) (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3) A2 – B2 = (A – B)(A + B)
4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5) (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ: Phân tích đa thức x3 + 3x2 + 3x – 7 thành nhân tử.
Hướng dẫn giải
x3 + 3x2 + 3x – 7
= x3 + 3x2 + 3x + 1 – 8
= (x + 1)3 – 23
= (x + 1 – 2)[(x + 1)2 + 2.(x + 1) + 22]
= (x – 1)(x2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4)
= (x – 1)(x2 + 4x + 7).
Các dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức
Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
1. Phương pháp giải:
Chuyển các đa thức đã cho về đúng dạng của hẳng đẳng thức cần sử dụng và phân tích thành nhân tử.
2. Bài tập minh họa:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Ví dụ 2:Dùng hằng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử:
a.
b.
c.
Hướng dẫn giải
a. Ta có:
b. Ta có:
c. Ta có:
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 
b) 
c) 
d) 
Hướng dẫn giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Dạng 2: Các bài toán liên quan
1. Phương pháp giải
Sử dụng hằng đẳng thức một cách hợp lý để phân tích các biểu thức để làm một số bài toán tính nhanh, tìm x,…
2. Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Tính nhanh:
Ví dụ 2: Tìm x:
c. 
Vậy các giá trị cần tìm là: 
Ví dụ 3:
a) Tính nhanh: 
b) Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp bằng 11. Tìm hai số ấy.
Hướng dẫn giải
a) Tính nhanh: 
Ta có: 
b) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 
và 
Theo đề bài, ta có: 
Vậy hai số phải tìm là 
và 
.
Dạng 3: Chứng minh các bài toán số học
1. Phương pháp giải
Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k. Từ đó cần phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
2. Bài tập minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh
a, (3n -1)2 - 4 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n
Ta có:
(3n -1)2 - 4 = (3n -1)2 - 22
= (3n – 1 – 2)(3n – 1 + 2)
= (3n – 3)(3n + 1)
= 3.(n – 1)(3n +1)3 với mọi STN n
b, 100 - (7n +3)2 chia hết cho 7 với mọi STN n
Ta có:
100 - (7n +3)2 = 102 - (7n +3)2
= (10 – 7n - 3)(10 + 7n + 3)
= (7 – 7n)(13 + 7n)
= 7.(1 – n)(13 + 7n)7 với mọi STN n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
a) 
luôn chia hết cho 7 với mọi giá trị nguyên của n.
b) 
luôn chia hết cho 21 với mọi giá trị nguyên của n.
Hướng dẫn giải
a) Vì 
nên 
với mọi giá trị nguyên của n.
b) Vì 
nên 
với mọi giá trị nguyên của n.
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
k.
Bài tập 2: Tìm x biết: (Sử dụng hằng đẳng thức)
a.
b.
c.
Bài tập 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
chia hết cho 8
Bài tập 4: Dùng hằng đẳng thức phân tích đa thức sau thành nhân tử
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a.
b.
c.
d.
Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử (bằng kĩ thuật bổ sung hằng đẳng thức)
a.
b.
c.
d.
Xem thêm các dạng bài tập Toán chi tiết và hay khác:
50 Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm các hạng tử (có đáp án năm 2024)
50 Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp (có đáp án năm 2024)
50 bài tập về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (có đáp án 2024)
