50 Bài tập Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2024) - Toán 9

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Kiến thức cần nhớ 

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Ví dụ 1:

$\left\{\begin{array}{l}3\mathrm{x}+5\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=4\end{array}\right.$; $\left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}-3\mathrm{y}=3\\ 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}=1\end{array}\right.$là các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Nếu hai phương trình có nghiệm chung là (x₀; y₀) thì (x₀; y₀) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (I).

 + Nếu hai phương trình không có nghiệm chung thì hệ phương trình (I) vô nghiệm.

+ Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn là ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là:

$\left(\mathrm{I}\right)\left\{\begin{array}{l}\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}\\ \mathrm{a}\text{'}\mathrm{x}+\mathrm{b}\text{'}\mathrm{y}=\mathrm{c}\text{'}\end{array}\right.$

Gọi (d) và (d') là đồ thị hàm số của 2 hàm số rút ra từ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn của (I).

Đối với hệ phương trình (I), ta có:

Nếu (d) cắt (d') thì hệ (I) có một nghiệm duy nhất.

Nếu (d) song song với (d') thì hệ (I) vô nghiệm.

Nếu (d) trùng với (d') thì hệ (I) có vô số nghiệm.

Ví dụ 2: Xét hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+\mathrm{y}=0\\ \mathrm{x}-\mathrm{y}=0\end{array}\right.$

Ta có: x – y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=\mathrm{x}$(d)

x + y = 0 $\Rightarrow \mathrm{y}=-\mathrm{x}$ (d’)

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) lên hệ trục tọa độ ta được:

Ta thấy (d) và (d’) cắt nhau tại O(0; 0) nên (0; 0)  là nghiệm của hệ phương trình.

Chú ý: Với trường hợp $\mathrm{a}\text{'}; \mathrm{b}\text{'}; \mathrm{c}\text{'}\ne 0$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}\ne \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$;

Hệ phương trình vô số nghiệm $\iff \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}\text{'}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}\text{'}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}\text{'}}$.

3. Hệ phương trình tương đương

Định nghĩa: Hệ hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta cũng dùng kí hiệu “$\iff$” để chỉ sự tương đương của hai phương trình.

Bài tập tự luyện 

Bài 1: Kiểm tra rằng cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Lời giải

Thay x = 2 , y = -1 vào phương trình 2x + y = 3 ta được:

Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình 2x+y=3

- Thay x = 2, y = -1 vào phương trình x – 2y = 4 ta được:

Vậy (2;-1) là nghiệm của phương trình x – 2y = 4

Vậy cặp số (x; y) = (2; -1) vừa là nghiệm của phương trình thứ nhất, vừa là nghiệm của phương trình thứ hai.

Bài 2: Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.

Lời giải

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ (x_o; y_o) của điểm M là một nghiệm của phương trình ax + by = c.

Bài 3: Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

Lời giải

a) Xét (d): y = -2x + 3 có a = -2; b = 3

(d’) : y = 3x – 1 có a’ = 3 ; b’ = -1.

Có a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ  có nghiệm duy nhất.

b) 

Xét (d):  có a =  ; b = 3

(d’):  có a’ =  ; b’ = 1.

Có a = a’; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ phương trình  vô nghiệm.

c) Ta có: 

Xét (d): y =  x có a =  ; b = 0

(d’) : y =  x có a’ =  ; b’ = 0

Ta có: a ≠ a’ ⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ  có nghiệm duy nhất.

d) Ta có:

Ta có: a = a’=3; b = b’ = -3

Nhận thấy hai đường thẳng trên trùng nhau

⇒ Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 4: Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

Lời giải

a) Xét hệ (I): 

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x – y = 1 và (d’): x – 2y = -1 trên mặt phẳng tọa độ.

+ Xét đường thẳng (d): 2x – y = 1 hay (d) : y = 2x – 1

   Chọn x = 0 ⇒ y = -1.

   Chọn y = 0 ⇒ x = 

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; -1) và 

+ Xét (d’) : x – 2y = -1 hay (d’): 

   Chọn x = 0 ⇒ y = 

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm  và (-1; 0).

Dựa vào đồ thị thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 1).

Thử lại, thay x =1, y=1 vào các phương trình của hệ (I) ta được:

Vậy hệ phương trình (I) có một nghiệm là (1; 1)

b) Xét (II): 

Ta biểu diễn hai đường thẳng (d): 2x + y = 4 và (d’): -x + y = 1 trên mặt phẳng tọa độ.

+ Xét (d): 2x + y = 4 hay (d): y = -2x + 4

   Chọn x = 0 ⇒ y = 4

   Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

+ Xét (d’) : -x + y = 1 hay (d’) : y = x + 1.

   Chọn x = 0 ⇒ y = 1

   Chọn y = 0 ⇒ x = -1.

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 1) và (-1; 0).

Nhận thấy (d) và (d’) cắt nhau tại A (1; 2).

Thử lại , thay x =1, y=2 vào các phương trình của hệ (II) ta được:

Vậy hệ phương trình (II) có đúng một nghiệm là (1; 2).

Bài 5: Đố:

Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.

Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Lời giải

- Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng ∅.

- Bạn Phương nhận xét sai.

Ví dụ: Xét hai hệ  và 

Hệ  có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (I) được biểu diễn bởi đường thẳng x – y = 0.

Hệ  có vô số nghiệm. Tập nghiệm của (II) được biểu diễn bởi đường thẳng x + y = 0.

Nhận thấy, tập nghiệm của hai hệ (I) và hệ (II) được biểu diễn bởi hai đường thẳng khác nhau nên hai hệ không tương đương.

Bài 6: Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Lời giải

a) + Xét phương trình 2x + y = 4 (1) ⇔ y = -2x + 4

Vậy phương trình (1) có nghiệm tổng quát là (x ; -2x + 4) (x ∈ R).

+ Xét phương trình 3x + 2y = 5 (2) ⇔ 

Vậy phương trình (2) có nghiệm tổng quát là :  (x ∈ R).

b) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng (d) : y = -2x + 4.

Chọn x = 0 ⇒ y = 4

Chọn y = 0 ⇒ x = 2.

⇒ (d) đi qua hai điểm (0; 4) và (2; 0).

Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (2) là đường thẳng (d’) : 

Chọn x = 0 ⇒ y = 2,5.

Chọn y = 0 ⇒ 

⇒ (d’) đi qua hai điểm (0; 2,5) và 

Hai đường thẳng cắt nhau tại A(3; -2).

Vậy (3; -2) là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2).

Bài 7: Cho các hệ phương trình sau:

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

Lời giải

Đường thẳng (d): x = 2 song song với trục tung.

Đường thẳng (d’): 2x – y = 3 không song song với trục tung

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d): x = 2 là đường thẳng đi qua (2 ; 0) và song song với trục tung.

Vẽ (d’): 2x - y = 3

- Cho x = 0 ⇒ y = -3 được điểm (0; -3).

- Cho y = 0 ⇒ x = 1,5 được điểm (1,5 ; 0).

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(2; 1).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2; 1).

Đường thẳng (d): x + 3y = 2 không song song với trục hoành

Đường thẳng (d’): 2y = 4 hay y = 2 song song với trục hoành

⇒ (d) cắt (d’)

⇒ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Vẽ (d₁): x + 3y = 2

- Cho y = 0 ⇒ x = 2 được điểm (2; 0).

- Cho x = 0 ⇒ y =  được điểm (0; ).

Vẽ (d₂): y = 2 là đường thẳng đi qua (0; 2) và song song với trục hoành.

Ta thấy hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A(-4; 2).

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-4; 2).

Bài 8: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Lời giải

a) (I): 

Xét (d): x + y = 2 hay (d): y = -x + 2 có a = -1; b = 2.

(d’) 3x + 3y = 2 hay (d’): y = -x +  có a’ = -1 ; b’ = 

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (I) vô nghiệm.

b) (II): 

Xét: (d): 3x – 2y = 1 hay (d):

(d’): -6x + 4y = 0 hay (d’):

Ta có: a = a’ ; b ≠ b’ ⇒ (d) // (d’)

⇒ Hệ (II) vô nghiệm.

Bài 9: Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

Lời giải

a)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

b)

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 10: Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?

Lời giải

Nếu một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có hai nghiệm phân biệt

⇒ Hệ đó có vô số nghiệm.

Vì hệ có hai nghiệm phân biệt nghĩa là hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình của hệ có hai điểm chung phân biệt, suy ra chúng trùng nhau.

Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:

50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (có đáp án năm 2023)

50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có đáp án năm 2023)