40 bài tập lũy thừa và cách giải lớp 7 hay nhất (2024)

Các dạng toán về Lũy thừa của số hữu tỉ và cách giải

LÝ THUYẾT

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên:

Lũy thừa bậc n của một số hữa tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là một số tự nhiên lớn hơn 1):

 $\left(x\in Z,n\in N,n>1\right)$

Nếu $x=\frac{a}{b}( a,b\in N,b\ne 0)$ thì $x^n={\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

Quy ước: x¹ = x; x⁰ = 1 (x ≠ 0).

2. Tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số:

$x^m.x^n=x^{m+n}(x\in Z;m,n\in N)$ (Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ).

$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0,m>n)$(Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia).

3. Lũy thừa của một tích:

${\left(x.y\right)}^n=x^n.y^n$(Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

4. Lũy thừa của một thương:

${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}$(y ≠ 0) (Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

5. Lũy thừa của lũy thừa:

${\left(x^m\right)}^n=x^{m.n}$(Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ)

6. Tóm tắt các công thức về lũy thừa

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số 

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số 

- Lũy thừa của một tích 

- Lũy thừa của một thương 

- Lũy thừa của một lũy thừa 

- Lũy thừa với số mũ âm. 

- Quy ước: 

- Giá trị tuyệt đối

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ tự nhiên.

1. Phương pháp giải:

Nắm vững định nghĩa:

  $(x\in Z,n\in N,n>1)$

Quy ước: x¹ = x; x⁰ = 1 (x ≠ 0)

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính:

Giải:

Dạng 2: Tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

1. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai lũy thừa cùng cơ số.

$x^m.x^n=x^{m+n}( x\in Z;m,n\in N)$

$x^m:x^n=x^{m-n}(x\ne 0, m⩾n)$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 2: Tìm x, biết:

Giải:

                                               

Dạng 3: Tính lũy thừa của một lũy thừa:

1. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức tính lũy thừa của một lũy thừa: (x^m)ⁿ  = x^m.n.

Chú ý:

- Trong nhiều trường hợp ta phải sử dụng công thức này theo chiều từ phải sang trái: x^m.n  = (x^m)ⁿ  = (xⁿ)^m.

- Tránh sai lầm do lẫn lộn hai công thức: x^m.xⁿ = x^m+n và (x^m)ⁿ  = x^m.n

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3:

a) Viết các số $2^{24}$ và $3^{16}$ dưới dạng các lũy thừa có số mũ là 8.

b) Trong hai số $2^{24}$ và $3^{16}$ số nào lớn hơn?

Giải:

a) Nhận xét: 24 = 8.3; 16 = 8.2. Ta có:

                   2²⁴ = 2^3.8 = (2³)⁸

                   3¹⁶ = 3^2.8 = (3²)⁸

a) Vì 2³  < 3²  nên (2³)⁸  < (3²)⁸.

Vậy 3¹⁶ > 2²⁴.

Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.

1. Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

 ${\left(x.y\right)}^n=x^n.y^n$(Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa)

${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}(y\ne 0)$(Lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

a) (0,125)³.512                                            b)$\frac{{90}^3}{{15}^3}$

Giải:

Dạng 5: Tìm số mũ của một lũy thừa.

1. Phương pháp giải:

Khi giải bài toán này, ta có thể sử dụng tính chất sau đây:

Với a ≠ 0, a ≠ 1, nếu a^m = aⁿ  thì m = n.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên n biết:$\frac{27}{3^n}=3$

Giải:

 n = 2

Vậy n = 2 là giá trị cần tìm.

Dạng 6: Tìm cơ số của một lũy thừa.

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số số mũ nguyên dương:

$(x\in Z;n\in N;n>1)$

- Sử dụng tính chất: Nếu aⁿ = bⁿ  thì a = b nếu b lẻ, a = $\pm$b nếu b chẵn

$(n\in N,n\ge 1)$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 6: Tìm x, biết:

a) x³ = 64                                                     b) (x – 5)² = x – 5

Giải:

a) x³ = 64

Ta có: 64 = 4³. Do đó x³ = 4³ nên x = 4.

Vậy x = 4 là giá trị cần tìm.

b) (x – 5)² = x – 5.

Nếu x = 5, ta có 0² = 0 (đúng).

Nếu x ≠ 5, chia hai vế cho (x – 5) ≠ 0, ta được: x – 5 = 1=> x = 6.

Vậy có hai giá trị cần tìm là x = 5 hoặc x = 6.

BÀI TẬP VẬN DỤNG (có đáp án)

Bài 1: Viết các tích sau đây dưới dạng lũy thừa:

a) 2.16.8                         b) 25.5.125                              c)$\frac{2}{3}.\frac{4}{9}.\frac{8}{27}$

Bài 2: Tính:

Bài 3: Viết các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

$25;\frac{1}{36};0,125;10 000;\frac{25}{64};\frac{27}{8}$

Bài 4: Tính

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:

Bài 6: Tìm x, biết:

a)$x:{\left(-\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{3}{5}$                                                 

b)${\left(\frac{4}{7}\right)}^4.x={\left(\frac{4}{7}\right)}^6$

Bài 7: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

Bài 8: Tìm các số nguyên x, biết:

Bài 9: So sánh:

a) 10²⁰ và 9¹⁰                  

b) 6⁸ và 16¹²                

c)  ${\left(\frac{1}{16}\right)}^{10}$ và ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{50}$

Bài 10: Chứng minh rằng:

a) (7⁶ + 7⁵ – 7⁴) $⋮$ 55

b) (16⁵ + 2¹⁵) $⋮$ 33

Hướng dẫn giải:

Bài 1:

a) 2.16.8 = 2.2⁴.2³ = 2⁸                       

b) 25.5.125 = 5².5.5³ = 5⁶                   

c)$\frac{2}{3}.\frac{4}{9}.\frac{8}{27}=\frac{2}{3}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^3={\left(\frac{2}{3}\right)}^6$

Bài 2:

d) ${\left[{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2\right]}^3={\left(\frac{-1}{3}\right)}^{2.3}={\left(\frac{-1}{3}\right)}^6=\frac{1}{729}$

Bài 3: Các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ là:

$5^2;{\left(\frac{1}{6}\right)}^2;0,5^3;{10}^4;{\left(\frac{5}{8}\right)}^2;{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

Bài 4:

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:

Bài 6: Tìm x, biết:

Bài 7: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ:

  

Bài 8:

Bài 9: So sánh:

a) 10²⁰ = (10²)¹⁰ = 10¹⁰⁰ > 9¹⁰              

b) 64⁸ và 16¹²            

64⁸ = (2⁶)⁸ = 2⁴⁸

16¹² = (2⁴)¹² = 2⁴⁸

64⁸ = 16¹²             

c)${\left(\frac{1}{16}\right)}^{10}={\left(\frac{1}{2^4}\right)}^{10}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{40}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{50}$  

Bài 10: Đưa các lũy thừa về cùng cơ số, sau đó đặt nhân tử chung và chứng minh.

a) (7⁶ + 7⁵ – 7⁴) = 7⁴.(7² + 7 – 1) $⋮$ 55

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Tính giá trị của:

M = 100²– 99² + 98² – 97² + … + 2² – 1²;

N = (20²+ 18² + 16² + … + 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² + … + 3² + 1²);

P = (-1)ⁿ.(-1)²ⁿ⁺¹.(-1)ⁿ⁺¹.

Bài 2: Tìm x biết rằng:

a) (x – 1)³= 27;

b) x²+ x = 0;

c) (2x + 1)² = 25;

d) (2x – 3)² = 36;

e) 5^{x + 2}= 625;

f) (x – 1)^{x + 2}= (x – 1)x + 4;

g) (2x – 1)³ = -8.

h) = 2^x;

Bài 3: Tìm số nguyên dương n biết rằng:

a) 32 < 2ⁿ<128;

b) 2.16 ≥ 2ⁿ > 4;

c) 9.27 ≤ 3ⁿ ≤ 243.

Bài 4: So sánh:

a) 99²⁰và 9999¹⁰;

b) 3²¹và 2³¹;

c) 2³⁰ + 3³⁰ + 4³⁰ và 3.24¹⁰.

Bài 5: Chứng minh rằng nếu a = x³y; b = x²y²; c = xy³ thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b² – 2x⁴y⁴ = 0 ?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 7 đầy đủ và chi tiết khác:

60 Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (có đáp án năm 2023) - Toán 7

60 Bài tập cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ (có đáp án năm 2023) - Toán 7

70 Bài tập về Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (có đáp án năm 2023) - Toán 7

60 Bài tập về tỉ lệ thức (có đáp án năm 2023) - Toán 7

60 Bài tập đại lượng tỉ lệ thuận (có đáp án năm 2023) - Toán 7