60 Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (có đáp án năm 2024)

Bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Kiến thức cần nhớ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1).

${\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\underset{\mathrm{n} \mathrm{thừa} \mathrm{số}}{\underbrace{\mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot \mathrm{x}\cdot ...\cdot \mathrm{x}}}$  (x $\in \mathrm{\mathbb{Q}}$, n $\in \mathrm{\mathbb{N}}$, n >1)

xⁿ đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.

x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Quy ước: x⁰ = 1 (x ≠ 0); x¹ = x.

Ví dụ:

+ 5³ đọc là 5 mũ 3 hoặc 5 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 5.

+  Tính ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4$

${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4=\frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}=\frac{\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}$

+ Tính và so sánh: $\frac{{12}^2}{6^2}$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

$\frac{{12}^2}{6^2}=\frac{144}{36}=4$ và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2={\left(-2\right)}^2=4$ nên $\frac{{12}^2}{6^2}={\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

Chú ý:

• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa; lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

${\left(\mathrm{x}\cdot \mathrm{y}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\cdot {\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}$;                               ${\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\right)}^{\mathrm{n}}=\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}}$ (y ≠ 0).

Ví dụ:

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15}.4^{15}={\left(\frac{3}{4}.4\right)}^{15}=3^{15}$;

25³ : 5³ = ${\left(\frac{25}{5}\right)}^3=5^3=125$.

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\cdot {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$

• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ số mũ của lũy thừa chia.

${\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}:{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}}$ (x ≠ 0, m ≥ n)

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5$;

b) Tính ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2+5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^7=\frac{128}{2187}$;

b) ${\left(-9\right)}^5:{\left(-9\right)}^4={\left(-9\right)}^{5-4}={\left(-9\right)}^1=-9$.

3. Lũy thừa của lũy thừa

• Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

${\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}\right)}^{\mathrm{n}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}\cdot \mathrm{n}}$

Ví dụ: Tính ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7$

Ta có: ${\left[{\left(-3\right)}^5\right]}^7={\left(-3\right)}^{5\cdot 7}={\left(-3\right)}^{35}$.

Mở rộng

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0.

${\mathrm{x}}^{-\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}$ với n là số nguyên dương, x ≠ 0.

Ví dụ: $\frac{1}{100}=\frac{1}{{10}^2}={10}^{-2}$

Các dạng bài tập lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Dạng 1. Tính lũy thừa của một số hữu tỉ.

Dạng 2: Viết số dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

Dạng 3: Thực hiện phép tính

+ Bài toán 1. Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng cơ số.

+ Bài toán 2: Thực hiện phép tính bằng cách đưa về cùng số mũ.

+ Bài toán 3: Thực hiện các phép tính phức tạp.

Dạng 4: So sánh các lũy thừa.

Dạng 5: Tìm số mũ, cơ số của lũy thừa.

+ Bài toán 1. Tìm số mũ của lũy thừa.

+ Bài toán 2. Tìm cơ số của lũy thừa.

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng (có đáp án)

1.1. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính:

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$;

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$;

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$$={\left(-\frac{5}{2}\right)}^3=-\frac{125}{8}$

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4={\left(-\frac{5}{2}\right)}^4=\frac{625}{16}$

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$$={\left(\frac{5}{4}\right)}^2\cdot 1=\frac{25}{16}$

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$$=2:{\left(\frac{3}{6}-\frac{4}{6}\right)}^3=2:{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3=2:\frac{-1}{216}=2\cdot \left(-216\right)=-432$

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

a) 25⁴ . 2⁸;

b) 27² : 25³;

c) 15⁸ . 9⁴;

d) (–27)⁵ : 32³.

Hướng dẫn giải

a) 25⁴ . 2⁸ $={\left(5^2\right)}^4\cdot 2^8=5^{2\cdot 4}\cdot 2^8=5^8\cdot 2^8={\left(5\cdot 2\right)}^8={10}^8$

b) 27² : 25³ $={\left(3^3\right)}^2:{\left(5^2\right)}^3=3^6:5^6={\left(\frac{3}{5}\right)}^6$

c) 15⁸ . 9⁴ $={15}^8\cdot {\left(3^2\right)}^4={15}^8\cdot 3^8={\left(15\cdot 3\right)}^8={45}^8$

d) (–27)⁵ : 32³ = ${\left[{\left(-3\right)}^3\right]}^5:{\left(2^5\right)}^3={\left(-3\right)}^{15}:2^{15}={\left(\frac{-3}{2}\right)}^{15}$.

Bài 3. Tìm x, biết:

a) $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$;

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot \mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$;

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$;

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}=-\frac{1}{243}$.

Hướng dẫn giải

a) $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$

$\mathrm{x}=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3+1}$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$.

 Vậy $\mathrm{x}=\frac{1}{16}$.

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot \mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^7:{\left(\frac{3}{4}\right)}^5$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{7-5}$

$\mathrm{x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

Vậy $\mathrm{x}=\frac{9}{16}$.

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$

${\left(\frac{7}{5}\right)}^3={\left(\frac{7}{5}\right)}^{\mathrm{x}}$

$\mathrm{x}=3$.

Vậy x = 3.

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}=-\frac{1}{243}$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}}={\left(-\frac{1}{3}\right)}^5$

$\mathrm{x}=5$.

Vậy x = 5.

1.2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Tính $\frac{{25}^2\cdot {25}^3}{5^{10}}$

A. 5;

B. 25;

C. 1;

D. $\frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\frac{{25}^2\cdot {25}^3}{5^{10}}=\frac{{25}^5}{5^{10}}=\frac{{\left(5^2\right)}^5}{5^{10}}=\frac{5^{10}}{5^{10}}=1$

Bài 5. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời bằng khoảng 1,5 . 10⁸ km. Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời khoảng 7,78 . 10⁸ km. Hỏi khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng bao nhiêu lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời?

A. 5 lần;

B. 5 . 10⁸ lần;

C. 8 lần;

D. 10⁸ lần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ Mộc tinh đến Mặt Trời gấp khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời số lần là: (7,78 . 10⁸) : (1,5 . 10⁸) = 7,78 : 1,5 ≈ 5 (lần).

Bài 6. Tìm x, biết $\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

A. $\mathrm{x}=\frac{1}{256}$;

B. $\mathrm{x}=\frac{1}{16}$;

C. $\mathrm{x}=-\frac{1}{256}$;

D. $\mathrm{x}=-\frac{1}{16}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\mathrm{x}:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^5={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^5$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{5+3}$

$\mathrm{x}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^8=\frac{1}{256}$. Vậy $\mathrm{x}=\frac{1}{256}$

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn