30 Bài tập về vectơ chỉ phương của đường thẳng (2024) có đáp án

VECTO CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa 

- Định nghĩa vectơ chỉ phương: Vectơ $\overrightarrow{u}$ ($\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$) là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ chỉ phương của .

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

2. Công thức 

 Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua hai điểm A và B có: $\overrightarrow{AB}$ là vectơ chỉ phương của 

- Cho $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$$\Rightarrow$  k$\overrightarrow{u}$ ($k\ne 0$)  là vectơ chỉ phương của .

- Cho đường thẳng $\Delta$ : $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.\Rightarrow$ Vectơ chỉ phương của $∆$ là $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$

- Cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{u\text{'}}=(-b;a)$

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(a;b)$

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’ : Nếu d’ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(-b;a),\overrightarrow{u}=(b;-a)$

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5). Xác định 3 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải

Do đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 3) và B(4; 5) nên ta có:

$\overrightarrow{AB}$= (4 – 1; 5 – 3) = (3; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

k$\overrightarrow{AB}$ ($k\ne 0$) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Chọn k = 2, ta có vectơ chỉ phương : $\overrightarrow{u_2}=2\overrightarrow{AB}=(6;4)$

Chọn k = 3, ta có vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_3}=3\overrightarrow{AB}=(9;6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải

Gọi $\overrightarrow{u}=(u_1;u_2)$ là vectơ chỉ phương của d.

Ta có d: $\left\{\begin{array}{l}x=5+3t\\ y=-2-5t\end{array}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_2=-5\end{array}\right.$ 

Vậy vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(3;-5)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2). Tìm 2 vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Lời giải

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$= (1; 2) 

$\Rightarrow$Vectơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$= (2; -1)  và $\overrightarrow{u}=(-2;1)$

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và d’. Tìm vectơ chỉ phương của d. Biết $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$.

Lời giải

Do $d\perp d\text{'}$ và vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(1;5)$ nên ta có:

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=(1;5)$

Bài 5. Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm C(-3;2) và D(1;4)?

Lời giải

Đường thẳng CD đi qua hai điểm C và D nên đường thẳng này nhận vecto  (4;2) làm vecto chỉ phương.

Lại có vecto  và (2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng CD nhận vecto (2;1) là vecto chỉ phương.

 BÀI 6: Vecto chỉ phương của đường thằng   là?

Lời giải

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát

 ⇔ 2x +3y -6 = 0 nên đường thẳng có vecto pháp tuyến là = (2;3)

Suy ra vecto chỉ phương là = (3;-2).

Bài 7: Cho đường thẳng d đi qua O(1;2) và điểm A(2;m). Tìm m để đường thẳng d nhận (1;3) làm vecto chỉ phương?

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm O và A nên đường thẳng d nhận vecto  (1;m-2) làm vecto chỉ phương.

Ta có vecto (1;3) làm vecto chỉ phương của đường thẳng d. Suy ra hai vecto và  cùng phương nên có hệ số k sao cho = k

Vậy nên, khi m = 5 thì đường thẳng d nhận (1;3) làm vecto chỉ phương

Bài 8:Cho đường thẳng d đi qua A(-2;3) và điểm B(2;m+1). Tìm m để đường thẳng d nhận   (2;4) làm vecto chỉ phương?

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên d nhận vecto  (4;m-2) làm vecto chỉ phương.

Lại có vecto (2;4) làm vecto chỉ phương của đường thẳng d

⇒ Vecto  và  cùng phương nên tồn tại số k sao cho = k

Vậy m=10 là giá trị cần tìm.

Bài 9: Đường thẳng d có một vecto pháp tuyến là = (-2;-5). Đường thẳng  vuông góc với d có một vecto chỉ phương là?

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vecto chỉ phương của đường thẳng này là vecto pháp tuyến của đường thẳng kia nên:

    _=  = (-2;-5)

Lại có hai vecto (-2;-5) và (2;5) cùng phương nên đường thẳng  nhận vecto (2;5) làm vecto chỉ phương.

Xem thêm các bài tham khảo dưới đây: