Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng (2024) hay, chi tiết nhất - Toán lớp 10

Công thức xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng

 Toán lớp 10

Lý thuyết tổng hợp

- Định nghĩa vectơ pháp tuyến: Vectơ $\overrightarrow{n}$ ($\overrightarrow{n}\ne 0$) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta$ thì k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.

+ Nếu đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$ , $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

Các công thức

- Cho $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của $∆\Rightarrow$ k$\overrightarrow{n}$ ($k\ne 0$)  là vectơ pháp tuyến của $∆$.

- Cho đường thẳng $∆$: ax + by + c = 0  $\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của $∆$ là $\overrightarrow{n}=(a;b)$

- Cho đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b)$ thì đường thẳng đó có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(b;-a)$, $\overrightarrow{n\text{'}}=(-b;a)$.

- Cho đường thẳng d  và d’. Biết $d\perp d\text{'}$: Nếu d’ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(a;b)$.

- Cho đường thẳng d và d’. Biết d // d’: Nếu d’ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u\text{'}}=(a;b)$ thì vectơ pháp tuyến của d là $\overrightarrow{n}=(-b;a),\overrightarrow{n}=(b;-a)$.

 Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0. Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d: 5x – 6y + 3 = 0 

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của d là: $\overrightarrow{n}=(5;-6)$

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Lời giải:

Biết đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(8;3)$

$\Rightarrow$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là: $\overrightarrow{n}=(-3;8)$

Bài 3: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$. Tìm vectơ pháp tuyến của các đường thẳng sau:

a) d’ song song với d

b) d’’ vuông góc với d

Lời giải:

a) Do d’ song song với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’ là $\overrightarrow{n\text{'}}=(-7;3)$

b) Do d’’ vuông góc với d và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;7)$ nên ta có:

Vectơ pháp tuyến của d’’ là $\overrightarrow{n\text{'}\text{'}}=(3;7)$

Bài tập vận dụng ( có đáp án)

Bài 1: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x- 3y+ 7= 0 là :

A. n₄→ = (2; -3)     B. n₂→ = (2; 3)     C. n₃→ = (3; 2)     D. n₁→ = (-3; 2)

Lời giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto ( a; b) làm VTPT.

⇒ đường thẳng d nhận vecto n→( 2;-3) là VTPT.

Chọn A.

Bài 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?

A. n→( 1; 1)     B. n→( 0; -1)     C. n→(1; 0)     D. n→( -1; 1)

Lời giải

Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→( 0; 1) làm VTPT.

Suy ra vecto n'→( 0; -1 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n'→ là cùng phương) .

Chọn B.

Bài 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?

A. n→( 1; 1)     B. n→( 0; -1)     C. n→(2; 0)     D. n→( -1; 1)

Lời giải

Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

Suy ra vecto n'→( 2; 0 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n'→ là cùng phương) .

Chọn D.

Bài 4. Cho đường thẳng ∆: x- 3y- 2= 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?

A. n₁→ = (1; -3) .    B. n₂→ = (-2; 6) .    C. n₃→ = ( ; -1).    D. n₄→ = (3; 1).

Lời giải

Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.

Nếu vecto n→ ≠ 0→ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n→ cũng là VTPT của đường thẳng ∆.

∆ : x - 3y - 2 = 0 → n_d→ = (1; -3) → 

=> Vecto ( 3; 1) không là VTPT của đường thẳng ∆.

Chọn D

Bài 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?

A. n→( 1; 1)    B. n→(0; 1)    C. n→(1;0)    D. n→( 1; -1)

Lời giải

Đường phân giác của góc phần tư (II) có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n→( 1; 1)

Chọn A.

Bài 6. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 1.    B. 2.    C. 4.    D. Vô số.

Lời giải

Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.

Chọn D.

Bài 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?

A. n₁→ = (2;0).    B. n₁→ = (2;2098)    C. n₁→ = (2; -19)    D. n₁→ = (-19;2098)

Lời giải

Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n→( a; b) .

Do đó; đường thẳng d có VTPT n→( 2; -19).

Chọn C.

Bài 8: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. A(3; 0)    B. B(1;2)    C. C(1;2)    D. D(2;-1)

Lời giải

Ta xét các phương án :

+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 - 2.0 + 3 = 0 vô lí

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 - 2.2 + 3 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.

Chọn B.

Bài 9: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(- 3;0)    B. B(0;2)    C. (3;4)    D. D(1;2)

Lời giải

+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.(-3) - 3.0 + 6 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 - 3.2 + 6 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 - 3.4 + 6 = 0

⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 - 3.2 + 6 = 2 ≠ 0

⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.

Chọn D

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A( 1; -4) và M( -2; 3) là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?

A. n→( 1; -4)    B. n→( 3;5)    C. n→(3;-7)    D. n→(5;-3)

Lời giải:

Đáp án: C

Do tam giác ABC cân tại A lại có AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao

⇒ AM vuông góc BC.

⇒ Đường thẳng BC nhận vecto MA→( 3;-7) làm VTPT.

Bài tập tự luyện

1. Tự luận

Bài 1: Cho đường thẳng d: 4x – 3y – 4 = 0 vuông góc với đường thẳng d’. Tìm vectơ pháp tuyến của d’.

Bài 2: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(-3;3)$ . Tìm vectơ pháp tuyến của d.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm D(0; 2) và hai vectơ $\overrightarrow{n}=(1;-3),\overrightarrow{u}=(1;3)$.

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua D và nhận $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua D và nhận $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương.

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài $2\sqrt{5}$ của đường thẳng ∆.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(–3; 2) và vectơ . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và nhận  là một vectơ pháp tuyến.

2. Trắc nghiệm

Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y - 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?

A. n₁→( 4; 6)    B. n₂→(-2;-3)    C. n₃→( 4; -6)    D. n₄→(-6;-9)

Câu 2: Cho đường thẳng d:  = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?

A. n→( 2;3)    B. n→( 3;2)    C. n→( 2; -3)    D. n→( -2;3)

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x - 4y + 2018 = 0

A. n₁→ = (1; 4).    B. n₁→ = (4;1)    C. n₁→ = (2;8)    D. n₁→ = (-2;8)

Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. d có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 5)

B. d có vectơ chỉ phương u→ = (5; -3)

C. d có hệ số góc k = 

D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.

Câu 5: Đường thẳng d: 12x - 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?

A. M(1; 1)    B. N( -1; -1)    C. P(-  ; 0)    D. Q(1;  ) .

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có A( 1; 2) ; B( 2;4). Tìm một VTPT của đường thẳng AC?

A. n→( 1; -2)    B. n→( 2; 4)    C. n→(-2; 1)    D. n→(2; 1)

Câu 7:  Cho đường thẳng ∆: 2x – 3y + 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ∆?

A. $\overrightarrow{n_1}$=(2;-3);

B. $\overrightarrow{n_2}$=(-3;2);

C. $\overrightarrow{n_3}$=(2;3);

D. $\overrightarrow{n_4}$=(3;2).

Xem thêm tổng hợp các dạng toán lớp 10 đầy đủ, hay và chi tiết khác:

40 Bài tập xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (2024) có đáp án

80 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

90 Bài tập tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

80 Bài tập về vectơ trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023) - Toán 10

80 Bài tập về Tích vô hướng của một vectơ với một số (có đáp án năm 2023) - Toán 10