30 bài tập Lý thuyết Hình thang (2024) hay, chi tiết

Hình thang 

1. Lý thuyết

Định nghĩa

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

   Hai cạnh song song gọi là hai đáy.

   Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên.

Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng CD, đoạn thẳng AH được gọi là đường cao của hình thang

Nhận xét:

   Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai canh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

   Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

Hình thang vuông

Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông

Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) có Aˆ - Dˆ = 30⁰,Bˆ = 2Cˆ. Tính các góc của hình thang

Lời giải:

Trong hình thang ABCD có Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰.       ( 1 )

Theo giả thiết, ta có       ( 2 )

Ta lại có       ( 3 ) (do góc Dˆ bằng góc ngoài của góc Aˆ, góc Cˆ bằng góc ngoài của góc Bˆ )

Từ ( 2 ),( 3 ) ta có

Khi đó Aˆ = Dˆ + 30^o = 75^o + 30^o = 105^o; Bˆ = 2Cˆ = 120⁰.

3. Bài tập ( có đáp án)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Hình thang vuông ABCD có Aˆ = Dˆ = 90⁰; AB = AD = 3cm;CD = 6cm. Tính số đo góc B và C của hình thang ?

Lời giải:

Kẻ BE ⊥ CD thì AD//BE do cùng vuông góc với CD

+ Hình thang ABED có cặp cạnh bên song song là hình bình hành.

Áp dụng tính chất của hình bình hành ta có

AD = BE = 3cm

Xét Δ BEC vuông tại E có 

⇒ Δ BEC là tam giác vuông cân tại E.

Khi đó ta có: Cˆ = 45⁰ và ABCˆ = 90⁰ + 45⁰ = 135⁰.

Bài 2: Cho hình thang ABCD( AB//CD ), hai đường phân giác của góc C và D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài của đáy AB của hình thang

Lời giải:

Áp dụng tính chất so le của AB//CD và giả thiết ta có:

(vì trong một tam giác đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau)

Cộng vế theo vế của ( 1 ) và ( 2 ) ta được: AD + BC = AB

Điều đó chứng tỏ tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài của đáy AB của hình thang

Bài tập tự luyện

Bài 1: Chọn câu đúng trong các câu sau:

   A. Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn.

   B. Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn.

   C. Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù.

   D. Hình thanh có nhiều nhất hai góc nhọn và nhiều nhất hai góc tù.

Lời giải:

Ta có tổng các góc của hình thang bằng 360⁰.

+ Hình thang có ba góc tù, một góc nhọn.

Ví dụ: Hình thang có 3 góc tù là 100⁰,120⁰,135⁰ và 1 góc nhọn là 60⁰.

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 100⁰ + 120⁰ + 135⁰ + 60⁰ = 415⁰ > 360⁰

⇒ Không tồn tại hình thang có ba góc tù, một góc nhọn. ⇒ Đáp án A sai

+ Hình thang có ba góc vuông, một góc nhọn.

Ví dụ: Hình thang có 3 góc bằng 90⁰ và một góc nhọn bằng 65⁰.

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 90⁰ + 90⁰ + 90⁰ + 65⁰ = 335⁰ < 360⁰

⇒ Không tồn tại hình thang ba góc vuông, một góc nhọn. ⇒ Đáp án B sai.

+ Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù.

Ví dụ: Hình thang có ba góc nhọn là 45⁰,75⁰,80⁰, một góc tù là 160⁰

⇒ Tổng 4 góc của hình thang bằng 45⁰ + 75⁰ + 80⁰ + 160⁰ = 360⁰

⇒ Tồn tại Hình thang có ba góc nhọn, một góc tù. ⇒ Đáp án C đúng

⇒ Hình thang có nhiều nhất là 3 góc nhọn. ⇒ Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Bài 2: Một hình thang có một cặp góc đối là 125⁰ và 75⁰, cặp góc đối còn lại của hình thang đó là ?

   A. 105⁰,55⁰   B. 105⁰,45⁰

   C. 115⁰,55⁰   D. 115⁰,65⁰

Lời giải:

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Theo giả thiết ta có một cặp góc đối là 125⁰ và 75⁰

⇒ Tổng số đo góc của cặp góc đối còn lại là 160⁰.

Xét đáp án ta có cặp 105⁰,55⁰ thỏa mãn.

Chọn đáp án A.

Bài 3: Hình thang ABCD có Cˆ + Dˆ = 150⁰. Khi đó Aˆ + Bˆ = ?

   A. 220⁰   B. 210⁰

   C. 200⁰   D. 190⁰

Lời giải:

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰ ⇒ Aˆ + Bˆ = 360⁰ - ( Cˆ + Dˆ )

⇒ Aˆ + Bˆ = 360⁰ - 150⁰ = 210⁰.

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hình thang ABCD trong đó có Aˆ = 120⁰, Bˆ = 60⁰, Dˆ = 135⁰ thì số đo của góc Cˆ = ?

   A. 55⁰   B. 45⁰

   C. 50⁰   D. 60⁰

Lời giải:

Tổng bốn góc của hình thang bằng 360⁰.

Khi đó ta có: Aˆ + Bˆ + Cˆ + Dˆ = 360⁰ ⇒ Cˆ = 360⁰ - ( Aˆ + Bˆ + Dˆ )

⇒ Cˆ = 360⁰ - ( 120⁰ + 60⁰ + 135⁰ ) = 45⁰.

Chọn đáp án B.

Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Biết Aˆ = 100^o, tính Dˆ

   A. 80^o     B. 100^o

   C. 120^o     D. 50^o

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB // CD và Aˆ = 120^o, Bˆ = 120^o. Tính Cˆ, Dˆ

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 7: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Biết AD = 3 cm và CD = 4cm. Tính AC?

   A. 3cm     B. 4cm

   C. 3,5cm     D. 5cm

Lời giải:

Do tứ giác ABCD là hình thang vuông nên Dˆ = 90^o

Suy ra, tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Áp dụng đinh lí Py ta go vào tam giác vuông ACD ta có:

AC² = AD² + DC² = 3²2 + 4² = 25

Suy ra: AC = 5cm

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho tứ giác lồi ABCD có AB // CD và AD = 6cm; DC = 8cm và AC = 10cm. Tìm khẳng định sai ?

   A. Tam giác ADC vuông tại D.

   B. Tứ giác ABCD là hình thang

   C. Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90^o

   D. Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Bˆ = 90^o

Lời giải:

Tứ giác ABCD có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có 2 đáy là AB và CD.

Xét tam giác ACD có: AD² + CD² = AC² (6² + 8² = 10² = 100)

Suy ra: tam giác ADC là tam giác vuông tại D.

Do đó: Dˆ = 90^o

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang vuông có Dˆ = 90^o

Vậy khẳng định D sai

Chọn đáp án D

Bài 9: Cho hình thang ABCD có AB // CD và Aˆ = 2Dˆ. Tính góc A?

   A. 60^o     B. 120^o

   C. 90^o     D. 80^o

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 10: Cho hình thang ABCD có AB // CD và Cˆ - Bˆ = 30^o . Tính góc C?

   A. 105^o     B. 90^o

   C. 75^o     D. 60^o

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 11: Cho hình thang ABCD có  = 90⁰, DC = BC = 2.AB, DC = 4cm. Tính góc ABC của hình thang.

A. 110⁰           

B. 150⁰           

C. 120⁰                       

D. 135⁰

Lời giải

Từ B kẻ BE vuông góc với CD tại E.

Tứ giác ABED là hình thang có hai cạnh bên AD // BE nên AD = BE, AB = DE.

Mặt khác, DC = BC = 2AB nên DC = 2ED, do đó E là trung điểm của DC.

Xét ΔBDE và ΔBCE có  = 90⁰; DE = EC; BE cạnh chung nên ΔBED = ΔBEC (c – g – c)

Suy ra BD = BC mà BC = DC (gt) ⇒ BD = BC = CD nên ΔBCD đều.

Xét ΔBCD đều có BE là đường cao cũng là đường phân giác nên

  

Đáp án cần chọn là: C

Bài 12: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho AD = AE.

Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang                        

B. Hình thang vuông

C. Hình thang cân                              

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Tam giác ADE có AD = AE (gt) nen tam giác ADE cân tại A.

Suy ra 

Tam giác ABC cân tại A (gt) nên 

Từ (1) và (2) suy ra 

Mà 2 góc  là hai góc ở vị trí đồng vị nên suy ra DE // BC

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Bài 13: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E theo thứ tự thuộc các cạnh bên AB, AC sao cho DE // BC.

Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác BDEC là hình gì?

A. Hình thang                        

B. Hình thang vuông

C. Hình thang cân                              

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải

Tứ giác BDEC có DE // BC nên tứ giác BDEC là hình thang.

Lại có  (vì tam giác ABC cân tại A) nên BDEC là hình thang cân

Đáp án cần chọn là: C

Bài 14: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

1. Chọn khẳng định đúng nhất?

A. Tứ giác BDIC là hình thang                     

B. Tứ giác BIEC là hình thang

C. Tứ giác BDEC là hình thang                    

D. Cả A, B, C đều đúng

Lời giải

Xét tứ giác DECB có: DE // BC (gt) nên tứ giác DECB là hình thang.

Tương tự:

Tứ giác DICB có DI // BC (gt) nên tứ giác DICB là hình thang.

Tứ giác IECB có IE // CB (gt) nên tứ giác IECB là hình thang.

Đáp án cần chọn là: D

2. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.

Chọn khẳng định đúng.

A. DE > BD + CE                              

B. DE = BD + CE

C. DE < BD + CE                              

D. BC = BD + CE

Lời giải

Suy ra tam giác EIC cân đỉnh E

Do đó EI = EC (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: DI + EI = BD + CE

⇒ DE = BD + CE

Đáp án cần chọn là: B

Bài 15: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc  = 45⁰ và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Diện tích của hình thang cân là:

A. 728 cm²     

B. 346 cm²     

C. 364 cm²     

D. 362 cm²

Lời giải

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP =  = 14 cm

Mà  = 45⁰ ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  = 364 cm²

Đáp án cần chọn là: C

Xem thêm các dạng  bài tập Toán hay, liên quan khác:

60 Bài tập về hình lăng trụ đứng (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về diện tích xung quanh của hình lăng trụ. Thể tích của hình lăng trụ (có đáp án năm 2024)

300 Bài tập Toán 8 chương 4: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều (có đáp án năm 2024)

70 Bài tập Hình lăng trụ đứng tam giác. Hình lăng trụ đứng tứ giác (có đáp án năm 2024)

Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác