Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phương
Lý thuyết
1. Khai phương một tích
Ta có: √AB = √A√B với A ≥ 0; B ≥ 0
Tổng quát: 
với A1 ≥ 0; A2 ≥ 0;.....;An ≥ 0
2. Khai phương một thương.
với A ≥ 0; B > 0
Dạng bài tập
Dạng 1: Thực hiệp phép tính
Phương pháp giải: Áp dụng các công thức khai phương một tích và khai phương một thương
Ví dụ: Thực hiện phép tính.
Lời giải:
= 12 - 12 = 0
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai căn một tích, khai căn một thương, hằng đẳng thức của căn
Chú ý khi làm cần xét đến điều kiện của căn.
Ví dụ:
Lời giải:
Dạng 3: Giải phương trình
Phương pháp giải:
Sử dụng các phép liên hệ giữa khai căn với phép nhân và phép chia.
Cần chú ý điều kiện của căn thức. Cụ thể là:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
Vậy nghiệm của phương trình S =
b) 
Điều kiện xác định: 
=> y - 3 = 52
⇔ y - 3 = 25
⇔ y = 25 + 3
⇔ y = 28(tm)
Vậy nghiệm của phương trình là S =
Bài tập (có đáp án)
Bài tập vận dụng
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 
với y < 2
b) 
với x; y ≥ 0 và xy ≠ 1
c) 
d) 
với 1 < x < 2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
Bài 4: Cho 
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Rút gọn rồi tính giá trị của A với x = 9 – 4√2 và y = 6 + 4√2
Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 
với 
b) 
với x = √5
Bài 6: Rút gọn các biểu thức:
Bài 7: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn không đổi với x > 0, x ≠ 1.
Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 
với x > 3
b) 
với x > 2
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
= |√3 - √2| - |√3 + √2|
= √3 - √2 - (√3 + √2) = -2√2
= (5 + 4√2)(9 - 4(1 + √2)) = (5 + 4√2)(5 - 4√2)
= 25 - 32 = -7.
Bài 2:
a) 
với y < 2
= 2x2.|y - 2| = 2x2 (2 - y).
b) 
với x; y ≥ 0 và xy ≠ 1
c) 
với 1 < x < 2
Bài 3:
a) 
ĐKXĐ: x ≥ 2
Đối chiếu với ĐKXĐ thì phương trình có nghiệm x = 3.
ĐKXĐ: x ≥ 2
Nếu 
⇔ x ≥ 4 thì phương trình trở thành:
⇔ x - 2 = 2 ⇔ x = 4 (TMĐK)
Nếu 
thì phương trình trở thành:
⇔ 0x = 0
⇒ Phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn ĐK 2 ≤ x < 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 2 ≤ x ≤ 4.
ĐKXĐ: 
⇔ 3x - 1 = 5(x + 2) ⇔ 2x = -11 ⇔ x = -11/2
Đối chiếu với ĐKXĐ thấy không thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐKXĐ: 
⇔ 3x - 1 = 5(x + 2) ⇔ 2x = -11 ⇔ x = -11/2
Đối chiếu với ĐKXĐ thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm x = -11/2
Bài 4:
a) ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; x ≠ y
Bài 5:
a) 
Với 
thì 
=|3 + 5 - 4| = 4
Với x = √5 ta có:
B = |2 + 1| - |2 - 1| = 2
Bài 6:
Bài 7:
Với x > 0, x ≠ 1
= x2 - 2x - x2 + 2x - 1 = -1
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào x.
Bài 8:
a) 
với x > 3
b) 
với x > 2
Bài tập tự luyện
Bài 1: Thực hiện phép tính
Bài 2: Thực hiện phép tính
Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
a) P = 
với a ≥ 0;b ≥ 0; a ≠ b
b) Q = 
với a ≥ 0;b ≥ 0;
c) M = 
với x ≠ -√5
Bài 4: Giải phương trình
Xem thêm các dạng Toán khác :
50 Bài tập Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √ A 2 = | A | (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Bảng căn bậc hai (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (có đáp án năm 2023)
