1900.edu.vn - Tin tức mới nhất - Cập nhật hàng ngày
1900.edu.vn - Tin tức mới nhất - Cập nhật hàng ngày
Giáo dục Tổng hợp các dạng bài tập Toán

Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (2024) hay nhất

Bài viết Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Mời các em xem:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phương pháp giải

+ Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d(M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Cho điểm A( xA; yA) và điểm B( xB; yB) . Khoảng cách hai điểm này là :

AB = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng d chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng d về dạng tổng quát.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Khoảng cách từ điểm M( 1; -1) đến đường thẳng ( a) : 3x - 4y - 21 = 0 là:

A. 1                          B. 2                       C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                          D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( a) là:

d(M;a) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chọn D.

Ví dụ 2: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 1 là:

A. 4,8                        B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                   C. 1                              D. 6

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 1 ⇔ 8x + 6y - 48 = 0

⇒ Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là :

d( O; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 4,8

Chọn A.

Ví dụ 3: Khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:

A. 2                       B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                      C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                              D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Hướng dẫn giải

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) : Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0

+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:

d( M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

Chọn A.

Ví dụ 4. Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng
(d): 8x + 6y + 100 = 0. Bán kính R của đường tròn (C) bằng:

A. R = 4                   B. R = 6                 C. R = 8                         D. R = 10

Lời giải

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d chính là bán kính R của đường tròn

⇒ R= d(O; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 10

Chọn D.

Ví dụ 5 . Khoảng cách từ điểm M( -1; 1) đến đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 bằng:

A. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                          B. 1                      C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                                 D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

d( M; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chọn A.

Ví dụ 6. Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10                B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                   C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                      D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chọn C

Ví dụ 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                   B. 3                C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                      D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Chọn A.

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10                  B. 5                      C. √26                          D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = √5

+ BC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .d( A; BC).BC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Ví dụ 9: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.                    B. 2                         C. 3                         D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2 .

Chọn B.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Khoảng cách từ điểm M( 2;0) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là:

A. 2                  B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                 C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                   D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải:

Đáp án: A

+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d) : Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình (d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0.

+ Khi đó khoảng cách từ M đến d là:

d(M, d)= Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

Câu 2: Đường tròn ( C) có tâm I ( -2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
d: 5x + 12y - 10 = 0. Bán kính R của đường tròn ( C) bằng:

A. R = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                       B. R = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                      C. R = 44                        D. R = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Lời giải:

Đáp án: A

Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) nên khoảng cách từ tâm đường tròn ( C) đến đường thẳng d chính là bán kính đường tròn.

=> R = d(I; d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Câu 3: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (a) : 4x - 3y + 5 = 0 và
(b) : 3x + 4y - 5 = 0. Biết hình chữ nhật có đỉnh A( 2 ;1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1                 B. 2                   C. 3                      D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

Ta thấy: điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A đến hai đường thẳng trên.

Độ dài 2 cạnh là: d( A; a) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2; d(A; b) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 1

do đó diện tích hình chữ nhật bằng : S = 2.1 = 2

Câu 4: Cho hai điểm A( 2; -1) và B( 0; 100) ; C( 2; -4) .Tính diện tích tam giác ABC ?

A. 3                     B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                    C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng                         D. 147

Lời giải:

Đáp án: A

+ Phương trình đường thẳng AC: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình AC: 1( x - 2) + 0.(y + 1) = 0 hay x - 2= 0..

+ Độ dài AC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 3 và khoảng cách từ B đến AC là:

d(B; AC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

=> Diện tích tam giác ABC là : S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng AC.d( B;AC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng .3.2 = 3 .

Câu 5: Khoảng cách từ A(3; 1) đến đường thẳng Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng gần với số nào sau đây ?

A. 0, 85                    B. 0,9                       C. 0,95                    D. 1

Lời giải:

Đáp án: B

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

(d): Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> ( d): 2(x - 1) + 1( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

=> d(A, d) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ≈ 0,894

Câu 6: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 và
3x + 4y + 5 = 0 đỉnh A(2; 1) . Diện tích của hình chữ nhật là

A. 6                     B. 2                       C. 3                           D. 4

Lời giải:

Đáp án: A

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 4x - 3y + 5 = 0 là Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2

+ Khoảng cách từ đỉnh A(2; 1) đến đường thẳng 3x + 4y + 5 = 0 là Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 3

=> Diện tích hình chữ nhật bằng 2.3 = 6

Câu 7: Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A( 1; -2) ; B( 2; 0) và D( -1; 3)

A. 6                      B. 4,5                       C. 3                       D. 9

Lời giải:

Đáp án: D

+ Đường thẳng AB: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Phương trình AB: 2(x - 1) – 1(y + 2) = 0 hay 2x – y - 4 = 0

+ độ dài đoạn AB: AB = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = √5

Khoảng cách từ D đến AB: d( D; AB)= Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

=> Diện tích hình chữ nhật ABCD là S = AB.d( D; AB) = √5.Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 9

Câu 8: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳn (d) : x + y - 2 = 0 và
( ∆) : 2x + 3y - 5 = 0 đến đường thẳng (d’) : 3x - 4y + 11 = 0

A. 1                   B. 2                     C. 3                       D. 4

Lời giải:

Đáp án: B

+ Giao điểm A của hai đường thẳng d và ∆ là nghiệm hệ phương trình

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng => A( 1; 1)

+ Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d’) là :

d( A; d’) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng = 2 

Câu 9: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: – x + 3y + 1 = 0. Hãy tính khoảng cách từ Q (2; 1) tới đường thẳng d.

Lời giải:

Ta có:

d(Q;d)=|−2+3.1+1|√(−1)2+32=√105

Câu 10: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d’: 2x + 2y + 5 = 0. Tính khoảng cách từ M (2; 3) tới đường thẳng d’.

Lời giải:

Ta có:

d(M;d'

Câu 11: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:

A. 2√10    

B. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

D. 2

Lời giải

Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 ⇒ A( -1; 1)

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ là :

d( A; ∆) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

Chọn C

Câu 12:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A( 1; 2) ; B(0; 3) và C(4; 0) . Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A bằng:

A. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10    

B. 3    

C. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10    

D. Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

⇒ ( BC) : 3(x - 0) + 4( y - 3) = 0 hay 3x + 4y - 12 = 0

⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

d( A; BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

Chọn A.

Câu 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.

A. 10    

B. 5    

C. √26    

D. 2√5

Lời giải

+ Phương trình BC:

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10

⇒Phương trình BC: 2( x - 1) + 1( y - 5) = 0 hay 2x + y - 7 = 0

⇒ d( A;BC) = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 = √5

+ BC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 = 2√5

⇒ diện tích tam giác ABC là: S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 .d( A; BC).BC = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 .√5.2√5 = 5

Chọn B.

Câu 14: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và
d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Diện tích của hình chữ nhật là:

A. 1.    

B. 2    

C. 3    

D. 4

Lời giải

+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.

⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng

S = Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Toán lớp 10 = 2 .

Chọn B.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng Δ:x=5+3ty=−5−4t. 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆: 3x + y – 3= 0 bằng 10.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; – 2) và đường thẳng ∆: x + y – 4 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆. 

b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(– 1; 0) và song song với ∆. 

c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với ∆. 

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(– 2; – 1). 

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. 

b) Tính diện tích tam giác ABC. 

Bài 5: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(- 3; 1) và ∆1: 2x + y – 4 = 0;

b) B(1; - 3) và Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau a) A(- 3; 1) và ∆1 2x + y – 4 = 0.

Bài 6: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: –2x + 4y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ P(0; 1) tới đường thẳng d.

Bài 7: Cho một đường thẳng có phương trình có dạng d: x + 5y + 1 = 0. Tính khoảng cách từ M(5; 6) tới đường thẳng d.

Xem thêm các dạng bài tập Toán hay và chi tiết khác:

150 Bài tập phương trình đường thẳng (2024) có đáp án

90 Bài tập về Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, góc và khoảng cách (2024) có đáp án

250 Bài tập đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023)

200 Bài tập ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ (có đáp án năm 2023)

2000 Bài tập Toán 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (có đáp án năm 2023)

Được cập nhật 23/08/2023 297 lượt xem
Bởi ngavietjack
Chủ đề:
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề
30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)
Tổng hợp các dạng bài tập Toán
30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng phương trình hình học hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

1.7k 10 tháng trước
30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)
Tổng hợp các dạng bài tập Toán
30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng lượng giác hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

1.8k 10 tháng trước
30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)
Tổng hợp các dạng bài tập Toán
30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng đồ thị phương trình hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

1.8k 10 tháng trước
Nội dung bài viết