Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng
I. Lý thuyết
1. Cấp số cộng
- Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:
un + 1 = un + d với n ∈ ℕ*.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Ví dụ: Cho cấp số cộng: Tìm số hạng đầu, công sai và u5.
Hướng dẫn giải
Cấp số cộng đã cho có số hạng đầu ; công sai .
Ta có nên
2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định lí 1: Nếu một cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức:
un = u1 + (n – 1)d, n ≥ 2.
Ví dụ: Cho một cấp số cộng có u1 = −3; u6 = 27.
Hướng dẫn giải
Ta có: u6 = u1 + (6 – 1)d = 27
⇔ −3 + 5d = 27 ⇔ 5d = 30 ⇔ d = 6.
3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Định lí 2: Giả sử (un) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un, khi đó
Ví dụ: Cho cấp số cộng (un) có u1 = −3; d = 2.
Vậy tổng của 5 số hạng đầu tiên của dãy số (un) là 5.
II. Bài tập Cấp số cộng
Bài 1. Cho cấp số cộng (un) có u1 = 321 và un + 1 = un – 3, ∀n ∈ ℕ*. Số 99 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy số?
A. 72;
B. 73;
C. 74;
D. 75.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: un + 1 = un – 3 ⇒ un + 1 − un = −3 ⇒ d = −3.
un = u1 + (n – 1)d = 321 + (n – 1)(−3) = −3n + 324.
Ta có: un = 99 ⇒ −3n + 324 = 99
⇒ −3n = −225 ⇒ n = 75.
Vậy 99 là số hạng thứ 75 trong dãy số.
Bài 2. Cho cấp số cộng (un) có u2 = 2017 và u3 = 1945. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có u3 – u2 = 1945 – 2017 = –72 ⇒ d = −72.
⇒ u1 = u2 − d = 2017 + 72 = 2089.
u6 = u1 + 5d = 2089 + 5.(−72) = 1729.
Vậy số hạng thứ 6 của cấp số cộng đã cho là 1729.
Bài 3. Cho cấp số cộng (un) có . Tìm d và xác định công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta có <
Vậy công thức số hạng tổng quá
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2
Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số