Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
I. Lý thuyết
1. Phép chiếu song song
1.1. Định nghĩa
Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng (P). Phép đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M’ của mặt phẳng (P) sao cho MM’ song song hoặc trùng với ℓ gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương của đường thẳng ℓ hoặc nói gọn là theo phương ℓ.
Mặt phẳng (P) gọi là mặt phẳng chiếu, phương ℓ gọi là phương chiếu, điểm M’ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của điểm M qua phép chiếu song song nói trên.
Cho hình ℋ. Tập hợp ℋ ’ gồm hình chiếu song song của tất cả các điểm thuộc ℋ gọi là hình chiếu song song (hoặc ảnh) của hình ℋ qua phép chiếu song song nói trên.
Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Xác định ảnh của các điểm B, C qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương AA’.
Hướng dẫn giải
Vì ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’ // BB’ // CC’.
Do đó các điểm B’, C’ lần lượt là ảnh của các điểm B, C qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương AA’.
1.2. Tính chất
Ta đã biết: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó (hoặc một phần của nó) là một điểm.
Vì thế, trong các tính chất dưới đây, ta chỉ xét hình chiếu song song của các đường thẳng (hoặc một phần của chúng) khi các đường thẳng đó có phương không trùng với phương chiếu.
Định lí:
⦁ Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
⦁ Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Định lí:
⦁ Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. (Hình 20)
⦁ Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. (Hình 21)
Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P), tam giác MNP có E là trung điểm MN và đường thẳng ℓ cắt mặt phẳng (P) sao cho các đường thẳng MN, NP, MP đều không song song hoặc trùng với đường thẳng ℓ. Gọi M’, N’, P’, E’ là hình chiếu song song của các điểm M, N, P, E trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.
a) Xác định hình chiếu song song của tam giác MNP và điểm E trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ. Biết rằng mặt phẳng (MNP) không song song hoặc chứa ℓ.
b) Chứng minh E’ là trung điểm của M’N’.
Hướng dẫn giải
a) Ta có M’, N’, P’, E’ là hình chiếu song song của các điểm M, N, P, E trên mặt phẳng (P) theo phương ℓ.
Hình chiếu song song của tam giác MNP và điểm E trên mặt phẳng (P) lần lượt là tam giác M’N’P’ và điểm E’ (hình vẽ).
b) Vì E là trung điểm MN nên E nằm giữa M, N và ME = EN.
Do đó E’ cũng nằm giữa M’ và N’.
Vì M’, E’, N’ lần lượt là ảnh của M, E, N qua phép chiếu song song đã cho nên ta có .
Vậy E’ là trung điểm của M’N’.
Chú ý: Đối với hình chiếu song song của đường tròn, người ta chứng minh được rằng: Hình chiếu song song của một đường tròn trên một mặt phẳng theo phương ℓ cho trước là một đường elip hoặc một đường tròn, hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng.
2. Hình biểu diễn của một hình không gian
2.1. Khái niệm
Hình biểu diễn của một hình ℋ trong không gian là hình chiếu song song của hình ℋ trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Chú ý: Muốn vẽ đúng hình biểu diễn của một hình trong không gian, ta phải áp dụng các tính chất của phép chiếu song song.
Ví dụ 3.
+ Hình dưới là hình biểu diễn cho hình hộp chữ nhật.
+ Hình dưới không là hình biểu diễn cho hình hộp chữ nhật vì mặt đáy là hình này là hình tam giác.
+ Hình dưới có thể là hình biểu diễn cho hình hộp chữ nhật. Tuy nhiên, hình biểu diễn này không tốt vì không giúp ta hình dung được hình hộp chữ nhật trong không gian mà chỉ giúp ta hình dung ra một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
2.2. Hình biểu diễn của một số hình khối đơn giản
Các hình sau đây thường được sử dụng làm hình biểu diễn của: hình tứ diện (Hình 22a); hình hộp (Hình 22b); hình hộp chữ nhật (Hình 22c); hình lăng trụ tam giác (Hình 22d).
Chú ý:
1)
⦁ Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông,...).
⦁ Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật,...).
⦁ Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn cho một hình thang tùy ý cho trước, sao cho tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình thang ban đầu.
⦁ Ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn của đường tròn, tâm của elip biểu diễn cho tâm của đường tròn (Hình 23).
2) Phép chiếu song song nói chung không giữ nguyên tỉ số của hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thẳng song song (hay không cùng nằm trên một đường thẳng) và không giữ nguyên độ lớn của một góc. Từ đó suy ra nếu trên hình ℋ có hai đoạn thẳng không nằm trên hai đường thẳng song song thì tỉ số của chúng không nhất thiết phải giữ nguyên trên hình biểu diễn. Cũng như vậy, độ lớn của một góc trên hình ℋ không nhất thiết được giữ nguyên trên hình biểu diễn.
II. Bài tập
Bài tập Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD.
a) Chứng minh hình chiếu song song G’ của điểm G trên mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB là trọng tâm của tam giác BCD.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AC. Tìm hình chiếu song song của các điểm M, N theo phép chiếu nói trên.
Hướng dẫn giải
a) Gọi I là trung điểm của CD.
Ta có hình chiếu song song của đoạn IA trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là đoạn IB.
Vì phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự của ba điểm A, G, I nên ảnh G’ của G qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB nằm trên đoạn BI và nằm giữa hai điểm B, I, đồng thời GG’ // AB.
Tam giác IAB, có: (do G là trọng tâm của tam giác ACD).
Mà I là trung điểm CD.
Vậy G’ là trọng tâm của tam giác BCD.
b) Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu song song của M, N trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB.
Ta có đoạn BD là hình chiếu song song của đoạn AD trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB.
Mà M là trung điểm AD.
Do đó ảnh M’ của M qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là trung điểm của đoạn BD.
Chứng minh tương tự, ta được ảnh N’ của N qua phép chiếu song song trên mặt phẳng (BCD) theo phương AB là trung điểm của đoạn BC.
Bài 2. Vẽ hình biểu diễn của một chiếc hộp đựng bánh ít trong hình vẽ dưới đây:
Hướng dẫn giải
Hình biểu diễn của một chiếc hộp đựng bánh ít:
Bài 3. Vẽ một hình biểu diễn của:
a) Hình thang cân ABCD có đáy lớn là CD sao cho CD = 2AB.
b) Hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong hình tròn tâm O.
Hướng dẫn giải
a) Hình biểu diễn của hình thang ABCD có đáy lớn là CD sao cho CD = 2AB là hình thang A’B’C’D’ có đáy lớn là C’D’ sao cho C’D’ = 2A’B’:
b) Hình biểu diễn của hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong hình tròn tâm O là hình bình hành M’N’P’Q’ nội tiếp trong elip có tâm O’:
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song
