Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song (Cánh diều)

Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Nhận xét: Có ba khả năng xảy ra đối với số điểm chung của d và (P) (Hình 15) là:

⦁ d và (P) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay (P) chứa d và kí hiệu là d ⊂ (P) hay (P) ⊃ d (Hình 15a).

⦁ d và (P) có một điểm chung duy nhất A. Khi đó ta nói d và (P) cắt nhau tại điểm A và kí hiệu là d ∩ (P) = {A} hay d ∩ (P) = A (Hình 15b).

⦁ d và (P) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (P) hay (P) song song với d và kí hiệu là d // (P) hay (P) // d (Hình 15c).

Kiến thức trọng tâm: Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh MN // (ABD).

Hướng dẫn giải

Tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm BC và CD.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó MN // BD.

Giả sử đường thẳng MN và mặt phẳng (ABD) có điểm chung là E.

Khi đó E nằm trên cả hai mặt phẳng (BCD) và (ABD).

Suy ra E nằm trên giao tuyến BD của hai mặt phẳng (BCD) và (ABD).

Do đó E là điểm chung của hai đường thẳng MN và BD.

Điều này không thể xảy ra vì MN // BD (chứng minh trên).

Vậy MN // (ABD).

2. Điều kiện và tính chất

Định lí 1: (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng (Hình 16)

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng IJ song song với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và BD.

Tam giác ABC có I là trọng tâm. Suy ra $\frac{AI}{AE}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{AJ}{AF}=\frac{2}{3}$.

Khi đó $\frac{AI}{AE}=\frac{AJ}{AF}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được IJ // EF.

Mà EF ⊂ (BCD).

Vậy IJ // (BCD).

Định lí 2: (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng) (Hình 17)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SB.

a) Xác định d, d’ lần lượt là các giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SBC), (SAC).

b) Chứng minh SA // d’.

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABCD có đáy lớn là AD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó MN // BC.

Mà P cùng thuộc hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) là đường thẳng d đi qua P và d // MN // BC.

Trong (SBC): gọi Q = SC ∩ d.

Suy ra Q nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP)   (1)

Trong (ABCD): gọi R = AC ∩ MN.

Suy ra R nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP)   (2)

Từ (1), (2), ta thu được giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP) là đường thẳng d’ ≡ QR.

b) Tam giác SAB có M, P lần lượt là trung điểm của AB và SB.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó MP // SA.

Mà MP ⊂ (MNP).

Vì vậy SA // (MNP).

Mà QR = (SAC) ∩ (MNP) (chứng minh trên).

Vậy SA // QR hay SA // d’.

Hệ quả của Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Tức là, nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt cùng song song với đường thẳng a thì giao tuyến b của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng a.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Tức là, cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, BC, AD. Chứng minh EF // CD.

Hướng dẫn giải

Ta có G, H lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Suy ra $GC=\frac{1}{2}BC$; $DH=\frac{1}{2}AD$.

Mà BC = AD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó GC = DH.

Mà GC // DH (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Vì vậy tứ giác GHDC là hình bình hành.

Suy ra GH // CD.

Mà GH ⊂ (EFGH).

Khi đó CD // (EFGH)   (1)

Ta có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra CD // (SAB)   (2)

Lại có E, F cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (EFGH).

Do đó EF = (SAB) ∩ (EFGH)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được EF // CD.

Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng MN // (ABD) và MN // (ACD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm BC.

Tam giác ABC có M là trọng tâm nên $\frac{EM}{EA}=\frac{1}{3}$.

Tam giác BCD có N là trọng tâm nên $\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Khi đó $\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được MN // AD.

Mà AD ⊂ (ABD) và AD ⊂ (ACD).

Vậy MN // (ABD) và MN // (ACD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB và cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại các điểm Q, P, N. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // (α) và M ∈ (α).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra (α) ∩ (SAB) = MQ, với MQ // AB và Q ∈ SA.

Lại có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra CD // MQ   (1)

Mà MQ ⊂ (α).

Do đó CD // (α).

Mà (α) ∩ (SCD) = NP.

Vì vậy CD // NP   (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AC, BC, SB. Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAC và SBC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

b) Chứng minh HK // (SAB).

c) Chứng minh HK // d.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB.

Ta có E đều thuộc hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

Mà MN // AB (chứng minh trên); MN ⊂ (MNE) và AB ⊂ (SAB).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB) là đường thẳng d đi qua E và d // MN // AB.

b) Tam giác SAC có H là trọng tâm và M là trung điểm AC.

Suy ra $\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{SH}{SM}=\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được HK // MN.

Mà MN ⊂ (SAB).

Vậy HK // (SAB)   (1)

c) Trong (SAB): gọi F = d ∩ SA.

Ta có HK // MN (chứng minh trên).

Mà MN ⊂ (MNEF).

Suy ra HK // (MNEF)    (2)

Ta lại có (SAB) ∩ (MNEF) = EF (theo kết quả câu a)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được HK // EF.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Lý thuyết Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Lý thuyết Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian