Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Phép chiếu song song
I. Lý thuyết
1. Khái niệm phép chiếu song song
Phép chiếu song song thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng.
Trong không gian, cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại M'. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' trong (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.
• Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song;
• Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l;
• Điểm M' gọi là ảnh của điểm M theo phép chiếu theo phương l.
Ví dụ: Mặt đất được xem là mặt phẳng (P). Một cái cột được cắm trên mặt đất được xem là đoạn thẳng MH với H (P). Mặt trời chiếu theo phương l. Tìm bóng của cái cột lên mặt đất.
Hướng dẫn giải
M'H là hình chiếu của MH lên mặt phẳng chiếu (P) theo phương chiếu l.
2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song
Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.
Tính chất 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Tính chất 3:
• Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
• Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Ví dụ: Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng AB, tia CA và đường thẳng AD theo phương chiếu l lên mặt phẳng chiếu (P). So sánh hai tỉ số
Hướng dẫn giải
Theo tính chất 1, hình chiếu song song của đoạn thẳng AB là A'B', tia CA là tia C'A' và đường thẳng AD là đường thẳng A'D'
Theo tính chất 3, thì hai tỉ số có giá trị bằng nhau.
3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Hình biểu diễn của một hình ℋ trong không gian là hình chiếu song song của ℋ trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Chú ý: Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như:
a) Nếu trên hình ℋ có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình ℋ.
b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì
• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.
• Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.
• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.
Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hình chiếu của hình bình hành A'B'C'D' lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu A'A.
Hướng dẫn giải
Hình chiếu của hình bình hành A'B'C'D' lên mặt phẳng (ABCD) theo phương chiếu A'A là hình bình hành ABCD với A, B, C, D lần lượt là ảnh của A', B', C' và D'.
II. Bài tập Phép chiếu song song
Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Lấy điểm G là trong tâm của tam giác ABC. Phép chiếu song song AA' lên mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm G thành G'. Xác định vị trí điểm G'.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M là trung điểm của cạnh AC
Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ
Do đó qua phép chiếu song song AA' lên mặt phẳng chiếu (A'B'C') biến điểm B thành B' và điểm M thành M'
Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra ba điểm B, G, M thẳng hàng và
Khi đó ba điểm B', G', M' thẳng hàng và
Mà M là trung điểm của AC nên M' là trung điểm của A'C'
Vậy G' là trong tâm của tam giác A'B'C'.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tìm hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AB'.
Hướng dẫn giải
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AD = A'D' = B'C' và AD // A'D' // B'C'
Do đó tứ giác ADC'B' là hình bình hành
Suy ra AB' // DC'
Khi đó, hình chiếu của điểm D lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu AB' là điểm C'.
Bài 3. Vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ có đáy là lục giác đều.
Hướng dẫn giải
Hình lăng trụ có đáy là lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' là hình có hai mặt đáy ABCDEF, A'B'C'D'E'F' là lục giác đều và được biểu diễn là hình lục giác; các mặt bên là các hình bình hành; các cạnh bên song song và bằng nhau.
Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song
Lý thuyết Bài 4: Hai mặt phẳng song song
Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 4
Lý thuyết Bài 1: Số trung bình và mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Lý thuyết Bài 2: Trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
