Từ bảng 2.1 hoàn thành trên, ta có bảng sau:

a) Số 1 có 1 ước đó chính là 1.

b) Số 0 chia hết cho 2; 5; 7; 2 017; 2 018 vì số 0 chia cho số nào khác 0 cũng bằng 0.

Do đó số 0 có vô số ước.

+) Với nhà màu vàng là số nguyên tố: 11, 2, 3, 5, 7.

+) Với nhà màu hồng là hợp số: 10, 4, 6, 8, 9.

a) Số 1 930 có tận cùng là 0 nên nó chia hết cho 2 và 5. Do đó, ngoài hai ước là 1 và 1 930 nó còn có thêm ước là 2 và 5.

Vậy 1 930 là hợp số.

b) Số 23 chỉ có hai ước là 1 và 23 nên nó là số nguyên tố.

Ta có thể tra bảng số nguyên tố số tự nhiên nhỏ hơn 1 000

+) Với bước đi đầu tiên thì Hà chỉ có thể đi theo 2 cách là: Ô 5 hoặc ô 7 vì cả 2 số đều là số nguyên tố.

Vậy Hà sẽ có thể đi như sau:

Cách 1: Hà → 7 → 19 → 13 → 11 → 23 → 29 → 31 → 41 → 17 → 2 (phòng chiếu phim)

Cách 2: Hà → 5 → 19 → 13 → 11 → 23 → 29 → 31 → 41 → 17 → 2 (phòng chiếu phim)

Vì 4 có 3 ước là: 1, 2, 4 nên 4 là hợp số.

Do đó trong phân tích 60 ra thừa số nguyên tố bạn Việt cho kết quả 60 = 3 . 4. 5 là sai.

Sửa lại kết quả đúng là: 

60 = 2 . 2 . 3. 5 = 22.3.5

Vì người ta đã quy ước dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.

Mà 7 chỉ có hai ước là 1 và 7. Do đó 7 là số nguyên tố nên số 7 phân tích ra thừa số nguyên tố là 7.

Vậy bạn Vuông xanh đúng.

+) Vì 18 = 3 x 6 nên ở  đầu tiên từ trên xuống là 6

+) Vì 6 = 2 x 3 nên ở  cuối cùng là 3

Vậy:

+) Vì 30 : 2 = 15 nên ở  đầu tiên từ trên xuống là 15

+) Vì 5 :  = 1

 = 5 : 1 = 5 nên  cuối cùng là 5

a) 36

Vậy  36 = 22.32

b) 105

Vậy 105 = 3.5.7.

+) 70

Vậy 70 = 2.5.7

+) 115

Vậy 115 = 5.23

+) Với cách phân tích 120 = 2.3.4.5 ta thấy 4 là hợp số vì có 3 ước là: 1, 2, 4 nên kết quả của Nam là sai.

Sửa lại: 120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 23.3.5

+) Với cách phân tích 102 = 2.51 ta thấy 51 là hợp số vì có 4 ước là: 1, 3, 17, 51 nên kết quả của Nam là sai.

Sửa lại: 102 = 2 . 3 . 17

a) Sai. Vì số 6 có 4 ước là 1; 2; 3; 6 nên 6 là hợp số.

b) Sai. Vì ví dụ hai số nguyên bất kì là: 2 và 3 nhưng tích 2 . 3 = 6 là số chẵn 

c) Đúng. Vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và là số chẵn duy nhất

d) Sai. Vì 3 là bội của 3 nhưng 3 là số nguyên tố

e) Sai. Vì 2 là số chẵn nhưng 2 là số nguyên tố.

+) Vì 89 chỉ có 2 ước là 1 và 89 nên 89 là số nguyên tố

+) Vì 97 chỉ có 2 ước là 1 và 97 nên 97 là số nguyên tố

+) Vì 125 có tận cùng là 5 nên 125 ⁝ 5, nên ngoài 2 ước là 1 và 125 còn có thêm ước là 5. Do đó 125 là hợp số.

+) Vì 541 chỉ có 2 ước là 1 và 541 nên 541 là số nguyên tố

+) Vì 2 013 có tổng các chữ số là 2 + 0 + 1 + 3 = 6 ⁝ 3; nên 2 013 ⁝ 3, vì thế ngoài 2 ước là 1 và 2 013 còn có thêm ước là 3. Do đó 2 013 là hợp số.

+) Vì 2 018 có chữ số tận cùng là 8 nên 2018 ⁝ 2 vì thế ngoài 2 ước là 1 và 2 018 còn có thêm ước là 2. Do đó 2 018 là hợp số.

Vậy: Các số nguyên tố là: 89 ; 97 ; 541

Các hợp số là: 125 ; 2 013; 2 018.

A = $4^4.9^5$

= 4.4.4.4.9.9.9.9.9

= $2^2.2^2.2^2.2^2.3^3.3^3.3^3.3^3.3^3$

= $2^{2+2+2+2}.3^{3+3+3+3+3}$

= $2^8.3^{10}$

a)

+) Ta có 210 : 2 = 105

              105 : 3 = 35

                35 : 5 = 7

                  7 : 7 = 1

Vậy: 

b)

+) Ta có: 5 x 7 = 35

             35 x 3 = 105

            105 x 6 = 6

Vậy:

Phân tích 30 ra thừa số nguyên tố ta được: 30 = 2.3.5 

Vì cô giáo muốn chia lớp 30 học sinh thành các nhóm nên số nhóm là ước của 30

Ư(30) = { 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

Ta có bảng sau:

Do mỗi nhóm có nhiều hơn 1 người nên số người trong một nhóm là 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Vậy mỗi nhóm có thể có 2; 3; 5; 6; 10; 15 hoặc 30 người.

Ta có: 33 = 3 . 11

Vì xếp 33 chiến sĩ thành các hàng thì số hàng là ước của 33

Ư(33) = {1; 3; 11; 33}

Với số hàng là 1 thì số người mỗi hàng là: 33 : 1 = 33 (người)

Với số hàng là 3 thì số người mỗi hàng là: 33 : 3 = 11 (người)

Với số hàng là 11 thì số người mỗi hàng là: 33 : 11 = 3 (người)

Với số hàng là 33 thì số người mỗi hàng là: 33 : 33 = 1 (người)

Vậy có 4 cách cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng.

Ta thấy 190 có các ước là 1, 2, 5, 190 nhiều hơn hai ước nên 190 là hợp số;

11 chỉ có ước là 1 và 11 nên 11 là số nguyên tố;

132 có các ước là 1; 2; 132 nhiều hơn hai ước nên 132 là hợp số;

23 chỉ có ước là 1 và 23 nên 23 là số nguyên tố;

43 chỉ có ước là 1 và 43 nên 43 là số nguyên tố;

17 chỉ có ước là 1 và 17 nên 17 là số nguyên tố;

21 có các ước là 1; 3; 7; 21 nhiều hơn hai ước nên 21 là hợp số.

Vậy 36 = $2^2.3^2$.

Vậy 36 = $2^2.3^2$.

Ta sẽ sử dụng sơ đồ cột

Vậy 60 = $2^2$.3.5

Vậy 121 = ${11}^2$

Vậy 225 = $3^2.5^2$

a) 1; 2; 3 là các ước của 12, trong đó 2 và 3 là số nguyên tố còn 1 không phải là số nguyên tố nên a sai.

b) Ta có 3 và 5 là hai số nguyên tố. Tích 3.5 = 15 không phải là số chẵn. Do đó b sai.

c) Số 2 là số chẵn nhưng 2 là số nguyên tố nên c sai.

d) Ta có 15 là số lẻ nhưng 15 không phải là số nguyên tố. Do đó d sai.

Đáp án A

Trong các số đã cho:

3 có hai ước là 1 và 3. Do đó 3 là số nguyên tố.

8 có 4 ước là 1; 2; 4; và 8 nên 8 là hợp số.

12 có 6 ước là 1; 2; 3; 4; 6 và 12 nên 12 là hợp số.

15 có 4 ước là 1; 3; 5 và 15 nên 15 là hợp số.

Đáp án D

16 có 5 ước là 1; 2; 4; 8; 16 nên 16 là hợp số.

17 có 2 ước là 1 và 17 nên 17 là số nguyên tố.

20 có 6 ước là 1; 2; 4; 5; 10 và 20 nên 20 là hợp số.

21 có 4 ước là 1; 3; 7 và 21 nên 21 là hợp số.

23 có 2 ước là 1 và 23 nên 23 là số nguyên tố.

97 có 2 ước là 1 và 97 nên 97 là số nguyên tố.

Vậy có 3 số là hợp số.

Đáp án D

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Đáp án D

Các số nguyên tố nhỏ hơn 30 bao gồm: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; 29.

Do đó A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 23; 29}.

Ta có 1 không thuộc tập A, ta viết 1 ∉ A nên A sai.

Ta có 2 thuộc tập A, ta viết 2 ∈ A nên B sai.

Ta có 29 thuộc tập A, ta viết 29 ∈ A nên C sai.

Ta có 17 thuộc tập A, ta viết 17 ∈ A nên D đúng.

Đáp án D

Phân tích một số ra thừa số nguyên tố là phân tích số đó thành tích của các thừa số nguyên tố.

Đáp án B

Có hai cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố là: 

+ Phương pháp phân tích theo sơ đồ cây;

+ Phương pháp phân tích theo sơ đồ cột.

Đáp án A

Ước nguyên tố của 18 chỉ có 2 và 3, 1 không phải số nguyên tố nên a sai.

2 là số nguyên tố, 3 là số nguyên tố. Ta có tích 2.3 = 6 là số chẵn nên b sai.

Ta có 2 là số chẵn, 2 cũng là số nguyên tố nên c sai.

Vậy không có phát biểu nào đúng.

Đáp án C

Dựa vào bảng số nguyên tố ở cuối sách giáo khoa ta có:

491 và 499 là hai số nguyên tố nên a = 1 hoặc a = 9.

Đáp án A

Ta có:

Vậy 70 = 2.5.7.

Suy ra x = 1; y = 1; z = 1.

Do đó x + y + z = 1 + 1 + 1 = 3.

Đáp án C

Sơ đồ cây hoàn chỉnh là: 

Vậy * = 8; ** = 4; *** = 2.

Đáp án C

Ta có: 

Suy ra 75 = 3.$5^2$.

Đáp án D

Ta có:

Vậy 120 = $2^3$.3.5. Do đó Nam đúng.

Ta có:

Vậy 105 = 3.5.7. Do đó An đúng.

Đáp án D

A = $4^2.9^5$ = 4.4.9.9.9.9.9 = 2.2.2.2.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3 = $2^4.3^{10}$.

Đáp án C

Vậy 504 = $2^3.3^2$.7 nên A đúng.

Vậy 102 = 2.3.17 nên B đúng

Vậy 75 = 3.$5^2$ nên C sai.

Vậy 170 = 2.5.17 nên D đúng.

Đáp án A

+) Ta có 210 : 2 = 105                                       

              105 : 3 = 35                                                     

               35 : 5 = 7                                                             

               7 : 7 = 1               

Ta hoàn thiện sơ đồ:             

Vậy các số còn thiếu lần lượt từ trên xuống dưới là: 105; 5 và 7.

Đáp án B

Ta có: 5 x 7 = 35;

35 x 3 = 105;

105 x 6 = 630.

Vậy các số cần điền từ trên xuống dưới lần lượt là: 630; 105 và 35.

Đáp án C

Phân tích 30 ra thừa số nguyên tố ta được: 30 = 2.3.5 

Vì cô giáo muốn chia lớp 30 học sinh thành các nhóm, các nhóm có số người bằng nhau nên số người của mỗi ngóm là ước của 30.

Mà số người mỗi nhóm là số nguyên tố nên số người mỗi nhóm là ước nguyên tố của 30.

Ta có bảng sau:

Do đó có thể chia thành 15 nhóm, 10 nhóm hoặc 6 nhóm.

Đáp án D

Ta có: 33 = 3 . 11

Vì xếp 33 chiến sĩ thành các hàng thì số hàng là ước của 33

Ư(33) = 1; 3; 11; 33.

Với số hàng là 1 thì số người mỗi hàng là: 33 : 1 = 33 (người)

Với số hàng là 3 thì số người mỗi hàng là: 33 : 3 = 11 (người)

Với số hàng là 11 thì số người mỗi hàng là: 33 : 11 = 3 (người)

Với số hàng là 33 thì số người mỗi hàng là: 33 : 33 = 1 (người)

Vậy có 4 cách cách sắp xếp 33 chiến sĩ thành các hàng.

Đáp án A

Các cặp số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 40: 

+) 3 và 5

+) 5 và 7

+) 11 và 13

+) 17 và 19

+) 29 và 31

Vậy có tất cả 5 cặp.

a) Gọi số tự nhiên cần tìm có ba chữ số khác nhau là  

Vì số đó chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Do đó c = 0 hoặc c = 5.

+) Với c = 0, ta có bảng chữ số a, b khác nhau và khác 0 thỏa mãn là:

Do đó ta thu được các số: 150; 510; 350; 530; 130; 310.

+) Với c = 5, a   0 nên a = 1 hoặc 3, ta có bảng chữ số a, b khác nhau thỏa mãn là:

Do đó ta thu được các số: 105; 305; 135; 315

Vậy các số tự nhiên có ba chữ số khac nhau chia hết cho 5 được viết từ các chữ số đã cho: 130; 135; 105; 150; 310; 315; 350; 305; 510; 530.

b) Gọi số tự nhiên cần tìm có ba chữ số khác nhau là  

Vì số đó chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 3 hay (a + b + c) chia hết cho 3.

Ta thấy cặp 3 chữ số khác nhau có tổng chia hết cho 3 là: (5, 0, 1); (5, 1, 3) vì (5 + 0 + 1 = 6 chia hết cho 3 và 5 + 1 + 3 = 9 chia hết cho 3)

+) Với (5, 0, 1) ta có các số cần tìm là: 105; 150; 510; 501

+) Với (5, 1, 3) ta có các số cần tìm là: 135; 153; 351; 315; 513; 531

Vậy các số tự nhiên có ba chữ số khac nhau chia hết cho 3 được viết từ các chữ số đã cho: 135; 153; 351; 315; 513; 531; 105; 150; 510; 501.

Ta có: Các ước của 11 là: 1; 11

Các ước của 10 là: 1; 2; 5; 10

Do đó ta thấy số 11 chỉ có hai ước là 1 và chính nó, còn số 10 thì có nhiều hơn 2 ước (cụ thể ở đây là 4 ước số tự nhiên).

Qua bài học này, ta sẽ biết được hai số 11 và 10 là khác nhau. Số 11 gọi là số nguyên tố và số 10 gọi là hợp số.