* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

$1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$

Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ 

$=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có $u_1=9^1-1=8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử $u_k=9^k-1$ chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh $u_{k+1}=9^{k+1}-1$ chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có $u_{k+1}=9^{k+1}-1={9.9}^k-1=9\left(9^k-1\right)+8=9u_k+8$.

Vì $9u_k$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k+1}$ cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

$2^{k+2}>2(k+1)+3$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$

Ta có:

$u_2=u_1+2=3+2=5.$ 

$u_3=u_2+2=5+2=7.$ 

$u_4=u_3+2=7+2=9.$ 

$u_5=u_4+2=9+2=11.$ 

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:

$u_n=2n+1\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.

Với n =1 ; $u_1 =2.1 +1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: $u_k = 2k +1$ (2)

Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

$u_{k+1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k+1}$ = $u_k$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B

Xét hiệu:  

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\left(\frac{1}{n}-2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\forall n\in \mathbb{N}*$

Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Chọn đáp án B

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}$

$=\frac{2n^2+7n+3-2n^2-7n+4}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}=\frac{7}{\left(n+4\right)\left(n+3\right)}>0;\forall n\in N*$

Vậy: $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$

 Suy ra:$\forall n\in \mathbb{N}*,u_n<2$ nên  $\left(u_n\right)$ bị chặn trên.

 Vì $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng $\forall n\in \mathbb{N}*,u_1=\frac{1}{4}\le u_n$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới. Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn.

Chọn đáp án C.

Giả sử $u_n=\frac{167}{84}\iff \frac{2n+1}{n+2}=\frac{167}{84}\iff 84(2n+1)=167(n+2)$

$\iff 168n+\text{}84=167n+\text{}334\iff n=250$

Vậy $\frac{167}{84}$ là số hạng thứ 250 của dãy số $\left(u_n\right)$.

Chọn đáp án C.

* Với n =1  ta có $1^3+11.1=12$ chia hết cho 6 đúng.

* Giả sử với n = k thì $k^3 +11k$ chia hết cho 6.

* Ta phải chứng minh với n =k+1  thì ${(k+1)}^3$ + 11(k +1) chia hết cho 6.

Thật vậy ta có :

$$\begin{gathered} {\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11 \\ =(k^3+11k)+3k(k+1)+12\left(*\right) \end{gathered}$$

Ta có; $k^3$ +11k chia hết cho 6 theo bước 2.

k(k+1) là tích 2 số tự  nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 $\Rightarrow 3k(k+1)⋮6$

Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.

Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).

* Ta có: 

$$\begin{gathered} u_2=2u_1=2.2=4=2^2 \\ {u}_3=2u_2=2.4=8=2^3 \\ {u}_4=2u_3=2.8=16=2^4 \\ {u}_5=2u_4=2.16=32=2^5 \end{gathered}$$

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:  $u_n=2^n\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ 

* Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức (*)  đúng.

Với n=1 ; có: $u_1 = 2^1 = 2$ (đúng). Vậy (*) đúng với n= 1

Giả sử (*)  đúng với n= k , có nghĩa ta có: $u_k = 2^k$ (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: $u_{k+1} = 2^{k+ 1}$.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k+1} = 2u_k = 2. 2^k = 2^{k+1}$

Vậy (*) đúng với n = k+1.  Kết luận (*)  đúng với mọi số nguyên dương n.

Chọn đáp án B.

Ta có $u_n=\frac{n-1}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=1-\frac{2}{n+2}-\left(1-\frac{2}{n+1}\right)$

$$\begin{gathered} =\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n+2}=\frac{2(\text{}n+2)-2(n+1)}{(n+1).(n+2)} \\ =\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\forall n\in \mathbb{N}* \end{gathered}$$

Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$  là dãy số tăng.

Chọn đáp án D.

Công thức $u_n$ được viết lại: $u_n=\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}$ 

Xét hiệu số:$u_{n+1}-u_n=\left(\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left[5\left(n+1\right)+7\right]}\right)-\left(\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\right)$

$=\frac{24}{5}\left(\frac{1}{5n+7}-\frac{1}{5\left(n+1\right)+7}\right)>0\forall n\ge 1.$ 

$\Rightarrow u_{n+1}>\text{}{u}_n$. Vậy dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

Ta có: $0<\frac{1}{5n+7}\le \frac{1}{12}\forall n\ge 1$

$\iff 0>-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\ge -\frac{2}{5}$ 

 $\iff \frac{7}{5}>\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left(5n+7\right)}\ge \frac{7}{5}-\frac{2}{5}\iff 1\le u_n<\frac{7}{5}.$ 

Suy ra $\left(u_n\right)$ là một dãy số bị chặn.

Kết luận $\left(u_n\right)$ là một dãy số tăng và bị chặn.

Chọn đáp án A.

Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới.

Lại có: $\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$.

 Suy ra $u_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}<1,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left(u_n\right)$ bị chặn trên.

Kết luận $\left(u_n\right)$ bị chặn.

Chọn đáp án C.

Ta có: $u_1$ =11 = 10 + 1

          $u_2$ = 10.11 +1 – 9 =102 =100 +2= ${10}^2$ +2

          $u_3$ =10.102 +1 – 9.2 = 1003 = 1000 + 3 = ${10}^3$ + 3

Từ đó dự đoán $u_n={10}^n + n$  (1).  Chứng minh:

Với n =1 ta có : $u_1 = {10}^1$ + 1 = 11 (đúng).

Giả công thức (1) đúng với n = k, ta có $u_k ={10}^{k }+ k$   (2).

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1. Có nghĩa chứng minh $u_{k+1} ={10}^{k+1} + (k+1).$

 Thật vậy : $u_{k+1} =10. ({10}^k + k) + 1 – 9k = {10}^{k+1} + (k+1)$

Kết luận : $u_n = {10}^n + n$.

Chọn đáp án B.

Dãy số $(u{}_n)$  với $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$ 

Dễ thấy $u_n>0\forall n\in N^{\ast }$.  Xét tỉ số: $\frac{u_n}{u_{n+1}}$ 

Ta có: $\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{\sqrt{n}}{2^n}.\frac{2^{n+1}}{\sqrt{n+1}}=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\left(\forall n\ge 1\right)$ 

Thật vậy: $\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}>1\iff \frac{4n}{n+1}>1\iff 4n>n+1\iff 3n>1$ ( đúng $\forall n\ge 1$ )

Do đó, $u_n > u_n+1$ nên $\left(u_n\right)$ là một dãy số giảm.

Chọn đáp án B.

Ta có $u_n=\frac{5^n}{n^2}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}$

Xét tỉ số 

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}.\frac{n^2}{5^n}=\frac{5n^2}{n^2+2n+1} \\ =\frac{n^2+2n+1+4n^2-2n-1}{n^2+2n+1} \\ =1+\frac{2n\left(n-1\right)+2n^2-1}{n^2+2n+1}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}(n-1\ge 0\Rightarrow 2n(n-1)\ge 0;2n^2-1\ge 2.1-1=1\\ \Rightarrow 2n(n-1)\text{}+2n^2-1>0\forall n\in N\text{}*)\end{array}$

Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng

Chọn đáp án A

Ta có: $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{\left(k-1\right)k}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\ge 2$

Suy ra  $u_n<\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\mathrm{...}+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{n}<\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 0<u_n<\frac{3}{2},\forall n\in \mathbb{N}*$

Vậy $\left(u_n\right)$ bị chặn

Chọn đáp án C.

Ta có: $u_{n+\hspace{0.17em}1}=\frac{2(n+1)-13}{3(n+1)-2}=\frac{2n-11}{3n+1}$

Xét hiệu: 

$$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2} \\ =\frac{(2n-11).(3n-2)-(2n-13).(3n+1)}{(3n+1)(3n-2)} \\ =\frac{6n^2-4n-33n+\text{}22-(6n^2+\text{}2n-\text{}39n-13)}{(3n+1).(3n-2)} \\ =\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0 \end{gathered}$$

với mọi $n\ge 1$.

Suy ra $u_{n+1}>u_n\forall n\ge 1\Rightarrow$ dãy $(u_n )$ là dãy tăng.

Mặt khác: $u_n=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow u_n<\frac{2}{3}\forall n\ge 1$

Suy ra $\left(u_n\right)$ bị chặn trên

$\begin{array}{l}\forall n\ge 1:\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}3n-2\ge 1\Rightarrow \frac{35}{3(3n-2)}\le \frac{35}{3.1}=\frac{35}{3}\\ \Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}-\frac{35}{3}=-11\end{array}$

Nên $\left(u_n\right)$ bị chặn dưới.

Vậy dãy $\left(u_n\right)$ là dãy bị chặn.

Chọn đáp án A.