Chọn A

1)  Xét dãy số : $u_n=-\frac{3^{n-1}}{5}$

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=-\frac{3^{n+\text{}1-1}}{5}:\left(-\frac{3^{n-1}}{5}\right)=3\Rightarrow \left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội q= 3.

 (2). Xét dãy số: u_n = 3n - 1

      Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3(n+1)-1}{3n-1}=\frac{3n+2}{3n-1}\Rightarrow \left(u_n\right)$ không phải là cấp số  nhân.

( 3) Xét  dãy số : $u_n=\frac{2^n-1}{3}$

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\Rightarrow \left(u_n\right)$ không phải là cấp số  nhân

(4) xét dãy số u_n = n³

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{(n+1)}^3}{n^3}\Rightarrow \left(u_n\right)$ không phải là cấp số nhân

Chọn B

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có:

$\begin{array}{l}{u}_n=u_1{q}^{n-1}\Rightarrow u_7=u_1.q^6\\ \Rightarrow q^6=-32:\frac{-1}{2}=64\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}q=2\\ q=-2\end{array}\right.\end{array}$

Chọn C

Ta có : $u_2=u_1.q=4.\left(-4\right)=-16;$

$\begin{array}{l}{\text{ u}}_3=u_2.q\\ =-16.\left(-4\right)=64;\\ {\text{u}}_4=u_3.q\\ =64.\left(-4\right)=-256\end{array}$

Số hạng tổng quát:  $u_n= 4. {( - 4)}^{n - 1}$

Chọn B

Ta có

$\begin{array}{l}{u}_n=u_1.q^{n-1}\\ \Rightarrow \frac{1}{{10}^{103}}=-1.{\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}=\frac{{(-1)}^n}{{10}^{n-1}}\end{array}$.

$\Rightarrow n-1=103\Rightarrow n=104$

Chọn B

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3^{\frac{n+1}{2}+1}}{3^{\frac{n}{2}+1}}= 3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3},\forall n\in N^{*}$

Dãy số là cấp số nhân với $u_1=3\sqrt{3};q=\sqrt{3}$

Chọn C

Ta có $u_2;u_4;u_6;\dots ;u_{20}$ lập thành cấp số nhân số hạng đầu $u_2=9;q=3$ và có 10 số hạng nên 

$S=u_2.\frac{1-3^{10}}{1-3}=9.\frac{3^{10}-1}{2}=\frac{9}{2}(3^{10}-1)$

Chọn D

Ta có :

$\begin{array}{l}{u}_n=19683\\ \iff 3^{\frac{n}{2}+1}=3^9\\ \iff \frac{n}{2}+1=9\\ \iff n=16\end{array}$ 

Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số.

Chọn D.

Gọi cấp số nhân đó là (u_n), $n=\overline{\mathrm{1,7}}$. Theo đề bài ta có :

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}{u}_4=6\\ u_7=243u_2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1.q^3=6\\ u_1.q^6=243u_1.q\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1. 3^3= 6\\ q^5= 243\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{u}_1=\frac{2}{9}\\ q=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Do đó các số hạng còn lại của cấp số nhân là

$\begin{array}{l}{u}_1=\frac{2}{9};u_2=\frac{2}{3};u_3=2;\\ u_5=18;u_6=54;u_7=162\end{array}$

Chọn C

Ta có: $u_2=u_1.q\iff \frac{1}{4}=u_1.q$ ; $u_5=u_1.q^4\iff 16=u_1.q^4$

Suy ra:

$\begin{array}{l}\frac{u_5}{u_2}=\frac{u_1{q}^4}{u_{1}q}=q^3=64\\ \iff q=4\end{array}$

Từ đó: $u_1=\frac{1}{16}.$ 

Chọn C

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có

$\left\{\begin{array}{c}{u}_1+u_2+u_3+u_4+u_5=11\\ u_1+u_5=\frac{82}{11}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_3+u_4=\frac{39}{11}\\ u_1+u_5=\frac{82}{11}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\left(q+q^2+q^3\right)=\frac{39}{11}\\ u_1\left(1+q^4\right)=\frac{82}{11}\end{array}\right.\end{array}$

Suy ra: 

$\begin{array}{l}\frac{q^4+1}{q^3+q^2+q}=\frac{82}{39}\\ \iff 39q^4-82q^3-82q^2-82q+39=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff (3q-1)(q-3)(13q^2+16q+13)=0\\ \iff q=\frac{1}{3},q=3\end{array}$

$\begin{array}{l}q=\frac{1}{3}\Rightarrow u_1=\frac{81}{11}\\ \Rightarrow u_n=\frac{81}{11}.\frac{1}{3^{n-1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}q=3\Rightarrow u_1=\frac{1}{11}\\ \Rightarrow u_n=\frac{3^{n-1}}{11}\end{array}$

Chọn C

Gọi q là công bội của cấp số. Khi đó ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+\hspace{0.17em}{u}_3+\hspace{0.17em}{u}_4+\hspace{0.17em}{u}_5= 11\\ u_1 +\hspace{0.17em}{u}_5= \frac{82}{11}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2+\hspace{0.17em}{u}_3+\hspace{0.17em}{u}_4= \frac{39}{11}\\ u_1 +\hspace{0.17em}{u}_5= \frac{82}{11}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1(q +\hspace{0.17em}{q}^2+\hspace{0.17em}{q}^3) = \frac{39}{11} \left(1\right)\hspace{0.17em}\\ u_1( 1+\hspace{0.17em}{q}^4) = \frac{82}{11} \left(2\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Lấy (2) chia (1) ta được:

$$\begin{gathered} \frac{1 +\hspace{0.17em}{q}^4}{q +\hspace{0.17em}{q}^2+\hspace{0.17em}{q}^3}= \frac{82}{39}\iff 39 +\hspace{0.17em}39q^4= 82q +\hspace{0.17em}82q^2+\hspace{0.17em}82q^3 \\ \iff 39q^4- 82q^3-\hspace{0.17em}82q^2+\hspace{0.17em}82q- 39= 0 \\ \iff q = 3; q = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ta có $S_{2011}=u_1\frac{q^{2011}-1}{q-1}$

+ Với $q=\frac{1}{3}\Rightarrow u_1= \frac{81}{11}\Rightarrow S_{2011}=\frac{243}{22}\left(1-\frac{1}{3^{2011}}\right)$

+ Với $q=3\Rightarrow u_1= \frac{1}{11}\Rightarrow S_{2011}=\frac{1}{22}\left(3^{2011}-1\right)$

Chọn B

$$\begin{gathered} a^2=\left(-\frac{1}{5}\right).\left(-\frac{1}{125}\right)=\frac{1}{625} \\ \iff a=\pm \frac{1}{25} \end{gathered}$$

Chọn D

$\begin{array}{l}{\text{\hspace{0.33em}S}}_n=2^2+\frac{1}{2^2}+2+2^4+\frac{1}{2^4}+2+\mathrm{...}+2^{2n}+\frac{1}{2^{2n}}+2\\ =\left(2^2+2^4+\mathrm{...}+2^{2n}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{2n}}\right)+2n\\ =4.\frac{1-4^n}{1-4}+\frac{1}{4}\frac{1-\frac{1}{4^n}}{1-\frac{1}{4}}+2n\\ = \frac{4}{3}. (\hspace{0.17em}{4}^n-1)+\hspace{0.17em}\frac{1}{3}.\frac{4^n-1}{4^n}+\hspace{0.17em}2n \\ =\frac{4^n-1}{3}\left(4-\frac{1}{4^n}\right)+2n.\end{array}$

Chọn C

Kiểm tra các đáp án

A. Dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = -2 .

B. Dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q= 0 .

C.

$\begin{array}{l}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+\text{}1){.6}^{n+\text{}1+1}}{n{.6}^{n+1}}\\ =\frac{6\left(n+1\right)}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}$ , không phải là hằng số.

Vậy $\left(u_n\right):u_n=n{.6}^{n+1}$ không phải là cấp số nhân.

D. $\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}{3}^{2\left(n+1\right)} }{{\left(-1\right)}^n{3}^{2n}}=\frac{{\left(-1\right)}^{n+ 1}{3}^{2n + 2} }{{\left(-1\right)}^n{3}^{2n}} =-\mathrm{9,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ . Vậy $\left(v_n\right):v_n={\left(-1\right)}^n{.3}^{2n}$ là một cấp số nhân.

Chọn A

Ta có: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{4.3}^{n+1}}{{4.3}^n}=3$ không phụ thuộc vào n suy ra dãy $\left(u_n\right)$ là một cấp số nhân với công bội q = 3.

Chọn C

$u_n=u_1.q^{n-1}\Rightarrow 192=3.{\left(-2\right)}^{n-1}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(-2\right)}^{n-1}=64={(-2)}^6\\ \Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7\end{array}$

Chọn D

Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ u_1{q}^2=243.u_1{q}^7\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1{q}^3=\frac{2}{27}\\ q^5=\frac{1}{243}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{3}\\ u_1=2\end{array}\right.\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_n=\frac{2}{3^{n-1}}\Rightarrow u_n=\frac{2}{6561}\\ \iff 3^{n-1}=6561=3^8\Rightarrow n=9\end{array}$

Vậy $\frac{2}{6561}$ là số hạng thứ 9 của cấp số.

Chọn C

Ba số: $2x-1;x;2x+1$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân

$$\begin{gathered} \iff \left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=x^2 \\ \iff 4x^2-1=x^2 \\ \iff 3x^2=1 \\ \iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}. \end{gathered}$$

Chọn A

Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n)

Ta có: u₁ = 3; u₂ = 3q; u₃ = 3q²

 $\begin{array}{l}\Rightarrow 15u_1-4u_2+u_3=15.3-4.3q+3q^2\\ =45-12q+3q^2\\ =3{\left(q-2\right)}^2+33\ge 33 \forall q.\end{array}$

Suy ra $15u_1-4u_2+u_3$  đạt GTNN khi q = 2 .

Khi đó  $u_{13}=u_1{q}^{12}= 3.2^{12}=12288.$ 

Chọn A

$S_n=\frac{8}{9}\left(9+99+999+\underset{nso9}{\underbrace{\mathrm{99...9}}}\right)$

$$\begin{gathered} =\frac{8}{9}\left(10-1+{10}^2-1+{10}^3-1+\mathrm{...}+{10}^n-1\right) \\ \begin{array}{l}=\frac{8}{9}\left[\left(10+{10}^2+{10}^3+\mathrm{...}+{10}^n\right)-n\right]\\ =\frac{8}{9}\left(10.\frac{1-{10}^n}{1-10}-n\right)\\ =\frac{80\left({10}^n-1\right)}{81}-\frac{8}{9}n.\\ \end{array} \end{gathered}$$

Chọn D

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có $x_1.x_2.x_3=8$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $x_1{x}_3=x_2^2$. Suy ra ta có $x_2^3=8\iff x_2=2.$

Với nghiệm x=2 thay vào phương trình đã cho ta có

$$\begin{gathered} 2^3- 7.2^2+ 2.(m^2+ 6m).2 - 8 = 0 \\ \iff 4m^2+\hspace{0.17em} 24m - 28 = 0 \end{gathered}$$

$m^2+6m-7=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-7\end{array}\right.$ 

+ Điều kiện đủ: Với m= 1 hoặc m = -7 thì $m^2+6m=7$ nên ta có phương trình: $x^3-7x^2+14x-8=0.$

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4 

Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q=2

Vậy m= 1 và m=  -7  là các giá trị cần tìm.

Chọn B

Do 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có :

$ac=b^2\Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{1}{ac}$

Chọn B

Ta có 8= 2. 4 nên công bội q = 4

Do đó, x = 2.q² = 2. 4² =  32

Chọn B

Ta có cấp số nhân (u_n) có:

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{u}_k=16\\ u_{k+1}=36\end{array}\right.\\ \Rightarrow q=\frac{u_{k+1}}{u_k}=\frac{9}{4}\\ \Rightarrow u_{k+2}=u_{k+1}q=36.\frac{9}{4}=81\end{array}$

Chọn C

Từ giả thiết suy ra $3S=3+{2.3}^2+{3.3}^3+\mathrm{...}+{11.3}^{11}$. Do đó 

$\begin{array}{l}-2S=S-3S\\ =1+3+3^2+\mathrm{...}+3^{10}-{11.3}^{11}\\ =1.\frac{1-3^{11}}{1-3}-{11.3}^{11}\\ =-\frac{1}{2}-\frac{{21.3}^{11}}{2}\\ \Rightarrow S=\frac{1}{4}+\frac{21}{4}{.3}^{11}.\end{array}$

vì 

$\begin{array}{l}S=\frac{1}{4}+\frac{{21.3}^{11}}{4}=a+\frac{{21.3}^b}{4}\\ \Rightarrow a=\frac{1}{4},b=11\\ \Rightarrow P=\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=3.\end{array}$

Chọn A

Theo giả thiết ta có :

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y=xq;z=x{q}^2\\ x+3z=2\left(2y\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow x+3x{q}^2=4xq\\ \Rightarrow x\left(3q^2-4q+1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 3q^2-4q+1=0\end{array}\right..\end{array}$

Nếu $x=0\Rightarrow y=z=0\Rightarrow$ công sai của cấp số cộng: x ; 2y ;  3z bằng 0 (vô lí).

nếu

$\begin{array}{l}3q^2-4q+1=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}q=1\\ q=\frac{1}{3}\end{array}\right.\iff q=\frac{1}{3}\left(q\cancel{=}1\right).\end{array}$

Chọn C

*Theo tính chất của cấp số cộng , ta có x+  z = 2y.

Kết hợp với giả thiết, x+ y + z = 21, ta suy ra  3y = 21 nên y =  7.

* Gọi d là công sai của cấp số cộng thì $x=y-d=7-d$ và $z=y+d=7+d$.

Sau khi thêm các số 2 ; 3 ; 9 vào ba số x ; y ; z ta được ba số là x+ 2 ; y + 3 ; z + 9 hay

9- d ;  10 ; 16+ d.

 * Theo tính chất của cấp số nhân, ta có

$\begin{array}{l}\left(9-d\right)\left(16+d\right)={10}^2\\ \iff d^2+7d-44=0\end{array}$

Giải phương trình ta được d= -11 hoặc d= 4.

   Với d = -11 ; cấp số cộng 18 ; 7 ; - 4. Lúc này F = 389.

   Với d= 4, cấp số cộng 3 ; 7 ; 11. Lúc này F = 179.

Chọn A

+ Ba số $x+6y\mathrm{,5}x+2y\mathrm{,8}x+y$ lập thành cấp số cộng nên

$\begin{array}{l}\left(x+6y\right)+\left(8x+y\right)=2\left(5x+2y\right)\\ \iff 9x+\text{}7y=10x+\text{\hspace{0.17em}}4y\\ \iff x=3y\end{array}$

+ Ba số $x+\frac{5}{3},y-\mathrm{1,2}x-3y$ lập thành cấp số nhân nên $\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(2x-3y\right)={\left(y-1\right)}^2$.

Thay x= 3y vào ta được :

$\begin{array}{l}\left(3y+\frac{5}{3}\right)\left(2.3y-3y\right)={\left(y-1\right)}^2\\ \iff \left(3y+\frac{5}{3}\right).3y=y^2-2y+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1\\ \iff 9y^2+\text{}5y-y^2+\text{}2y-1=0\end{array}$

$\iff 8y^2+7y-1=0\iff y=-1$ hoặc $y=\frac{1}{8}$ .

Với y= -1 thì x= - 3; với $y=\frac{1}{8}$ thì $x=\frac{3}{8}$.

Chọn B

Giả sử ba số hạng a,  b, c lập thành cấp số cộng thỏa yêu cầu, khi đó b, a, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân  công bội q. Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+c=2b\\ a=bq;c=b{q}^2\end{array}\right.\\ \Rightarrow bq+b{q}^2=2b\iff b. (q + q^2- 2 ) = 0\\ \iff \left[\begin{array}{l}b=0\\ q^2+q-2=0\end{array}\right..\end{array}$ 

     Nếu  $b=0\Rightarrow a=b=c=0$ nên a, b, c là cấp số cộng công sai d= 0 (vô lí).

     Nếu $q^2+q-2=0\iff q=1$ hoặc  q= -2. Nếu $q=1\Rightarrow a=b=c$ (vô lí), do đó q = -2.

Chọn A

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội $q=\frac{1}{2}$ và$u_1=\frac{12288}{2}=6144.$

Khi đó diện tích mặt trên cùng là : $u_{11}=u_1{q}^{10}=\frac{6144}{2^{10}}=6$ 

Chọn D

Ta có:  $u_{n +1}= 4^{n +1}+ n +1$

Chọn D 

Gọi 4 số phải tìm là a1, a2, a3, a4. Theo đầu bài Ta có hệ:

Từ $3a_2- a_1= 10 \Rightarrow a_1= 3a_2- 10$ thay vào (1) ta được: 

$$\begin{gathered} a_2^2= (\hspace{0.17em}3a_2-10). (12- a_2) \\ \iff a_2^2= 36a_2- 3a_2^2- 120+\hspace{0.17em}10a_2 \\ \iff 4a_2^2- 46a_2+\hspace{0.17em}120 = 0 \\ \Rightarrow a_2= 4; a_2= \frac{15}{2} \hspace{0.17em}\left(loại\right) \end{gathered}$$

Từ đó, ta tìm được 4 số cần tìm là:   a1=2, a2=4, a3=8 và a4=12

Chọn D

Chọn A

Số tiền là 1000000. (1+0,0065)24≈ 1168236,3