10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Hai mặt phẳng vuông góc có đáp án (Vận dụng cao)

Câu 1:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân, với AB = AC = a và góc $\hat{BAC}$ = $120^{0}$ , cạnh bên AA' = a. Gọi I là trung điểm của CC'. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) bằng

A. $\frac{\sqrt{11}}{11}$

B. $\frac{\sqrt{33}}{11}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

D. $\frac{\sqrt{30}}{10}$

Xem đáp án

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Hình chiếu vuông góc H của S trên mặt đáy (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và SH = $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng SB và AC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $cotφ = \frac{\sqrt{2}}{4}$

B. $cotφ = \sqrt{7}$

C. $cotφ = \frac{\sqrt{7}}{7}$

D. $cotφ = \frac{\sqrt{14}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm BC. Tam giác ABC vuông tại A nên H trung điểm của BC.

Theo giả thiết, ta có SH $⊥$ (ABC)

Qua B kẻ Bx // AC. Khi đó $\hat{(SB; AC)} = (\hat{SB; Bx})$

Kẻ HE $⊥$ Bx tại E, cắt AC tại M

Suy ra AMEB là hình chữ nhật nên

Câu 3:

Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với ( P ) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $60^{0}$ . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC. Độ dài cạnh SA tính theo R là

A. $\frac{R}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{R}{2}$

C. $\frac{R}{4}$

D. $\frac{R}{2 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a và vuông góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a, SA = $a \sqrt{2}$ , SA $⊥$ (ABCD). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$

Xem đáp án

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABC có đáy góc (BAC) = $90^{0}$ , BC = 2a, góc (ACB) = $60^{0}$ . Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng tam giác SAB cân tại S và tam giác SBC vuông tại S. Tính diện tích tam giác SAB.

A. $S_{ΔSAB} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

B. $S_{ΔSAB} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

C. $S_{ΔSAB} = \frac{a^{2}}{4}$

D. $S_{ΔSAB} = \frac{a^{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S ⇒ SH $⊥$ AB.

Mà (SAB) $⊥$ (ABC) nên SH $⊥$ (ABC) và đặt SH = x.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy lớn AB; cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi Q là điểm trên cạnh SA và Q $\neq$ A, Q $\neq$ S; M là điểm trên đoạn AD và M $\neq$ A. Mặt phẳng (α) qua QM và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là:

A. tam giác.

B. hình thang cân.

C. hình thang vuông.

D. hình bình hành.

Xem đáp án

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại N.

Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt SB tại P.

Khi đó thiết diện là hình thang MNPQ (do MN // PQ).

Vì AB $⊥$ (SAD) suy ra MN $⊥$ (SAD) nên MN $⊥$ MQ.

Do đó thiết diện MNPQ là hình thang vuông tại Q và M.

Câu 8:

Cho hình chóp đều S.ABC. Mặt phẳng ( $α$ ) qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) với hình chóp đã cho là:

A. tam giác đều

B. tam giác cân

C. tam giác vuông

D. tứ giác

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I là trung điểm BC.

Trong tam giác SAI kẻ AH $⊥$ SI (H $\in$ SI).

Trong tam giác SBC, qua H kẻ đường song song với BC, cắt SC ở M, cắt SB ở N.

Qua cách dựng ta có BC // (AMN). (1)

Và $\{\begin{matrix} SI ⊥ AH \\ SI ⊥ MN (doSI ⊥ BC) \end{matrix}$

⇒ SI $⊥$ (AMN) ⇒ (SBC) $⊥$ (AMN).

Từ (1) và (2), suy ra thiết diện cần tìm là tam giác AMN.

Dễ thấy H là trung điểm của MN mà AH $⊥$ (SBC) suy ra AH $⊥$ MN. Tam giác AMN có đường cao AH vừa là trung tuyến nên nó là tam giác cân đỉnh A.

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc $30^{0}$ . Tính diện tích tam giác ABC.

A. $S_{ΔABC} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

B. $S_{ΔABC} = a^{2} \sqrt{2}$

C. $S_{ΔABC} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{4}$

D. $S_{ΔABC} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của AB, tam giác SAB đều $\Rightarrow \{\begin{matrix} SI = \frac{a \sqrt{3}}{2} \\ SI ⊥ AB \end{matrix}$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( $α$ ) qua SD và vuông góc với mặt phẳng (SAC). Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi ( $α$ ) với hình chóp đã cho.

A. $S = \frac{a^{2}}{2}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

D. $S = \frac{a^{2}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E là trung điểm AB.

Suy ra AECD là hình vuông nên DE $⊥$ AC. (1)

Mặt khác SA $⊥$ (ABCD) ⇒ SA $⊥$ DE (2)

Từ (1) và (2), suy ra DE $⊥$ (SAC) ⇒ (SDE) $⊥$ (SAC)