10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và $\hat{ABC} = 60^{0}$ . Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Gọi $φ$ là góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (SCD), tính sin $φ$ biết rằng SB = a.

A. $sinφ = \frac{1}{4}$

B. $sinφ = \frac{1}{2}$

C. $sinφ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $sinφ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của SD, nhận xét góc giữa SB và (SCD) cũng bằng góc giữa OM và (SCD) (Vì OM//SB)

Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) ⇒ $\hat{OM, SCD} = \hat{OM, MH} = \hat{OMH}$

Trong (SBD) kẻ OE//SH, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông nên

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = $a \sqrt{2}$ . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. SH $⊥$ (ABCD)

B. SH $⊥$ HC

C. AC $⊥$ SK

D. HC $⊥$ HD

Xem đáp án

Đáp án C

Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên SH⊥AB

Lại có

Câu 3:

Cho hình chóp S.ABC có $\hat{BSC} = 120^{0},$ $\hat{CSA} = 60^{0},$ $\hat{ASB} = 90^{0}$ , SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB.

B. I là trọng tâm tam giác ABC.

C. I là trung điểm AC.

D. I là trung điểm BC.

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi SA = SB = SC = a

Gọi I là trung điểm của AC thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do SA = SB = SC và IA = IB = IC nên I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AD = CD = a, AB = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD), E là trung điểm của AB. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. CE $⊥$ (SAB).

B. CB $⊥$ (SAC).

C. Tam giác SDC vuông tại D.

D. CE $⊥$ (SDC).

Xem đáp án

Đáp án D

Từ giả thết suy ra ADCE là hình vuông

Dùng phương pháp loại trừ, suy ra D là đáp án sai.

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, $AD = a \sqrt{3}$ . Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( $α$ ) đi qua A vuông góc với SC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi ( $α$ ) với hình chóp đã cho.

A. $S_{AMIN} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{7}$

B. $S_{AMIN} = \frac{12 a^{2} \sqrt{6}}{35}$

C. $S_{AMIN} = \frac{6 a^{2} \sqrt{6}}{35}$

D. $S_{AMIN} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Trong tam giác SAC, kẻ AI $⊥$ SC (I $\in$ SC)

Trong mp(SBC), kẻ $d_{1}$ đi qua I vuông góc với SC cắt SB tại M.

Trong mp(SCD), kẻ $d_{2}$ đi qua I vuông góc với SC cắt SD tại N.

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi mp ( $α$ ) là tứ giác AMIN.

Câu 6:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi ( $α$ ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Mặt phẳng ( $α$ ) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

A. Hình thang cân

B. Hình thang vuông

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có AD vuông góc với SA và AB ⇒ AD $⊥$ mp(SAB) ⇒ AD $⊥$ SB.

Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB

Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.

Vậy mặt phẳng ( $α$ ) chính là mặt phẳng (AHD).

Mặt khác AD // mp(SBC) mà AD $\subset$ mp(AHD)

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.

Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà AD $⊥$ mp(SAB) ⇒ AD $⊥$ AH.

Vậy ADKH là hình thang vuông.

Câu 7:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA $⊥$ (ABC). Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang vuông.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Xem đáp án

Đáp án A

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại M và Q.

Câu 8:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều, chiều cao bằng cạnh đáy. Thiết diện của hình lăng trụ và mặt phẳng qua B' vuông góc với A'C là

A. Hình thang cân.

B. Hình thang vuông.

C. Hình chữ nhật

D. Hình vuông

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi M, M′, N, R lần lượt là trung điểm của AC, A′C′, AM và AB.

Tam giác A′B′C′ đều suy ra B′M′ $⊥$ A′C′.

Mà AA′ vuông góc với đáy (A′B′C′) ⇒ AA′ $⊥$ B′M′.

Vậy B′M′ vuông góc với (ACC′A′) ⇒ B′M′ $⊥$ A′C.

Gọi I là trung điểm của AA′, ta có A′C // MI.

Mà M′A′AM là hình vuông ⇒ M′N $⊥$ MI.

Do đó M′N $⊥$ A′C.

Suy ra mặt cắt là mp(B′M′N)

Mặt phẳng này cắt hai mặt phẳng song song (ABC) và (A′B′C′) theo hai giao tuyến B′M′ và NR song song nhau.

Mặt khác B′M′ $⊥$ (ACC′A′) ⇒ B′M′ $⊥$ M′N.

Vậy B′M′NR là hình thang vuông.

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), SA= $a \sqrt{2}$ . Gọi ( $α$ ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB. Mặt phẳng ( $α$ ) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích S. Tính S theo a.

A. $\frac{5 a^{2} \sqrt{6}}{12}$

B. $\frac{5 a^{2} \sqrt{6}}{18}$

C. $\frac{5 a^{2} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{5 a^{2} \sqrt{6}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có AD vuông góc với SA và AB ⇒ AD $⊥$ mp(SAB) ⇒ AD $⊥$ SB.

Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB

Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.

Vậy mặt phẳng ( $α$ ) chính là mặt phẳng (AHD)

Mặt khác AD // mp(SBC) mà AD $\subset$ mp(AHD)

Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.

Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà AD $⊥$ mp(SAB) ⇒ AD $⊥$ AH

Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.

Câu 10:

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tâm O, đường cao AA'; SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đoạn OA' (M $\neq$ A';M $\neq$ O). Mặt phẳng ( $α$ ) đi qua M và vuông góc với AA'. Đặt AM = x. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi ( $α$ ) với hình chóp S.ABC.

A. $S_{IJEF} = - 2 (8 x^{2} - 6 \sqrt{3} {ax+3a}^{2})$