Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

b)  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+2\text{ khi x}\le \text{1}\\ \frac{2}{x}\text{+1 khi x > 1;}\end{array}\right.$

b) Ta có

•  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{2}{x}+1\right)=\frac{2}{1}+1=3$;

•  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x^2+2\right)=1^2+2=3$.

Vì  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) liên tục tại 1.

Ta lại có

• $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}$

 $=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=1+3=4$.

•  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}\text{+1}-3}{x-1}$

 $=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\frac{2}{x}-2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2-2x}{x\left(x-1\right)}$

 $=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }-\frac{2}{x}=\frac{-2}{1}=-2$.

Vì  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$ nên không tồn tại  $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$.

Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 1.