Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên ℝ.

a)  $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}{x}^2-x+2\text{ khi x}\le \text{2}\\ \frac{1}{x+1}\text{ khi x > 2;}\end{array}\right.$

a) Ta có

•  $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$;

•  $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^2-x+2\right)=2^2-2+2=4$.

Vì  $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\frac{1}{3}\ne 4=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên f(x) gián đoạn tại 2, do đó f(x) không có đạo hàm tại 2.