Với x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 6. Tìm GTNN của

$P=x^2+y^2+\frac{33}{xy}$.

Với x, y là các số dương ta có: $-{\left(x-y\right)}^2\le 0\Rightarrow -x^2+2xy-y^2\le 0$

$\Rightarrow x^2+2xy+y^2\le 2x^2+2y^2\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\le 2\left(x^2+y^2\right)$

 $\Rightarrow x^2+y^2\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{2}=\frac{36}{2}=18$(1)

$x^2+y^2\ge 2xy\Rightarrow {\left(x+y\right)}^2\ge 4xy$

 $\Rightarrow xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{36}{4}=9\Rightarrow \frac{33}{xy}\ge \frac{33}{9}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow P=x^2+y^2+\frac{33}{xy}\ge 18+\frac{33}{9}=\frac{65}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \left\{\begin{array}{c}x=y\\ x+y=6\end{array}\iff x=y=3\right.$

Vậy $P_{\min }=\frac{65}{3}$ khi x = y = 3.