Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc

Bài 7.32 trang 63 Toán 11 Tập 2: Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh 8 dm, bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc, sau đó bác hàn các mép lại để được một chiếc thùng (không có nắp) như Hình 7.99.

a) Giải thích vì sao chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Tính cạnh bên của thùng.

c) Hỏi thùng có thể chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước?

Trả lời

a) Có AB // A'B' nên AB // (A'B'C'D').

AD // A'D' nên AD // (A'B'C'D'). Do đó (ABCD) // (A'B'C'D').

Vì bác Hùng cắt bỏ bốn phần như nhau ở bốn góc và hàn lại sẽ tạo thành 4 mặt bên là các hình thang cân. Vậy chiếc thùng có dạng hình chóp cụt.

b) Dựa vào hình 7.99, ta có A'B' = B'C' = C'D' = D'A' = 8 – 2 = 6 (dm).

Kẻ AH $\perp$ A'B' tại H, Kẻ BK $\perp$ A'B' tại K.

Khi đó ABKH là hình chữ nhật, suy ra AB = HK = 3 dm,

AH = BK = (8 – 3) : 2 = 2,5 dm.

Xét $∆$AHA' và $∆$BKB' có AA' = BB', $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}=\widehat{BK{B}^{\text{'}}}=90°$ , AH = BK.

Do đó $∆$AHA' = $∆$BKB', suy ra A'H = B'K = (A'B' – HK): 2 = (6 – 3) : 2 = 1,5 dm.

Xét tam giác AHA' vuông tại H, có AA' = $\sqrt{A{H}^2+A^{\text{'}}{H}^2}=\sqrt{2,5^2+1,5^2}=\sqrt{\frac{17}{2}}$ (dm).

Vậy cạnh bên của thùng là $\sqrt{\frac{17}{2}}$ dm.

c) Gọi O và O' lần lượt là tâm của hình vuông ABCD và A'B'C'D'.

Vì ACC'A' là hình thang cân nên đường cao của hình chóp cụt cũng chính là đường cao của hình thang cân.

Kẻ CE $\perp$ A'C' tại E.

Vì OCEO' là hình chữ nhật nên OC = O'E.

Xét tam giác ABC vuông tại B có

AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+3^2}$= 3$\sqrt{2}$ (dm)

Mà O là trung điểm của AC nên OC = $\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ (dm) .

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B' có

A'C' = $\sqrt{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2+B^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}=\sqrt{6^2+6^2}$ = 6$\sqrt{2}$ (dm)

Mà O' là trung điểm của A'C' nên O'C' = $\frac{A\text{'}C\text{'}}{2}$= 3$\sqrt{2}$ (dm).

Có C'E = O'C' – O'E = 3$\sqrt{2}$ - $\frac{3\sqrt{2}}{2}$= $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ (dm).

Xét tam giác CC'E vuông tại E, có

CE = $\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2-C^{\text{'}}{E}^2}$=$=\sqrt{\frac{17}{2}-\frac{18}{4}}$= 2 (dm).

Do đó OO' = 2 dm

Ta có S₁ = S_ABCD = 3 . 3 = 9 (dm²); S₂ = S_A'B'C'D' = 6 . 6 = 36 (dm²).

Khi đó $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1\cdot S_2}\right)\cdot O{O}^{\text{'}}$

$=\frac{1}{3}\left(9+36+\sqrt{9\cdot 36}\right)\cdot 2=42$ (dm³).

Ta có 42 dm³ = 42 lít.

Vậy thùng có thể chứa được nhiều nhất là 42 lít nước.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: