Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:

(C): x² + y² + 4x – 2y – 4 = 0.

Viết phương trình ảnh của (C)

a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2;

b) qua phép vị tự tâm I(1; 1), tỉ số k = –2.

Đường tròn (C): x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0 có tâm A(–2; 1) và bán kính $R=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+1^2-\left(-4\right)}=3$.

a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua V(O, 2)

Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua V(O, 2) và bán kính R’ = |2|.R = 2.3 = 6.

Gọi A’(x’; y’) là ảnh của A qua V(O, 2).

Suy ra $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=2\overrightarrow{OA}$ với $\overrightarrow{OA}=\left(-2;1\right)$ và $\overrightarrow{O{A}^{\text{'}}}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}}\right)$     

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}^{\text{'}}=2.\left(-2\right)=-4\\ y^{\text{'}}=2.1=2\end{array}\right.$                            

Vì vậy A’(–4; 2).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (x + 4)2 + (y – 2)2 = 36.

b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua V(I, –2).

Khi đó (C’’') có tâm ảnh của A qua V(I, –2) và bán kính R’’ = |–2|.R = 2.3 = 6.

Gọi A”(x”; y”) là ảnh của A qua V(I, –2).

Suy ra $\overrightarrow{I{A}^{\text{'}}}=-2\overrightarrow{IA}$ với $\overrightarrow{I{A}^{\text{'}}}=\left({x^{\text{'}}}^{\text{'}}-1;{y^{\text{'}}}^{\text{'}}-1\right)$ và $\overrightarrow{IA}=\left(-3;0\right)$

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x^{\text{'}}}^{\text{'}}-1=-2.\left(-3\right)\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}-1=-2.0\end{array}\right.$

Vì vậy $\left\{\begin{array}{l}{x^{\text{'}}}^{\text{'}}=7\\ {y^{\text{'}}}^{\text{'}}=1\end{array}\right.$

Suy ra tọa độ A”(7; 1).

Vậy phương trình đường tròn (C”) là: (x – 7)2 + (y – 1)2 = 36.