Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x + 6y – 5 = 0.

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

a) Chọn điểm A(–1; 1) ∈ d.

Ta đặt A’ = ĐO(A).

Suy ra O là trung điểm của AA’.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{A^{\text{'}}}=2x_O-x_A=2.0+1=1\\ y_{A^{\text{'}}}=2y_O-y_A=2.0-1=-1\end{array}\right.$

Vì vậy A’(1; –1).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$.

Gọi d’ là ảnh của d qua ĐO, suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1.(x – 1) + 6.(y + 1) = 0 hay x + 6y + 5 = 0.

b) Ta đặt A” = ĐM(A).

Suy ra M là trung điểm AA”.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=2x_M-x_A=2.4+1=9\\ y_{{A^{\text{'}}}^{\text{'}}}=2y_M-y_A=2.6-1=11\end{array}\right.$

Vì vậy A”(9; 11).

Gọi d” là ảnh của d qua ĐM, suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;6\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

1.(x – 9) + 6.(y – 11) = 0 hay x + 6y – 75 = 0.