Cho đường thẳng d: x + y + 2 = 0, đường tròn (C): x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0.

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

a) Chọn điểm M(–1; –1) ∈ d: x + y + 2 = 0.

Ta đặt M’ = ĐOx(M).

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ M’(–1; 1).

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó yN = 0, suy ra xN = –2. Do đó N(–2; 0).

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm M’(–1; 1) và N(–2; 0).

Ta có: $\overrightarrow{M^{\text{'}}N}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$.

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d^{\text{'}}}=\left(1;-1\right)$ nên có phương trình là:

1.(x + 2) – 1.(y – 0) = 0 hay x – y + 2 = 0.

b) Đường tròn (C): x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0 có tâm I(2; –4), bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2-\left(-5\right)}=5$.

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOy.

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ĐOy và có bán kính R’ = R = 5.

Ta đặt I’ = ĐOy(I).

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ĐOy là: (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25.