Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng delta: x+3/1= y-1/1= z+2/4

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+6=0$. Biết $∆$ cắt mặt phẳng (P) tại A, Mthuộc $∆$ sao cho $AM=2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P).

Trả lời

Chọn B

Đường thẳng $\Delta :\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{4}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1;4\right)$.

Mặt phẳng $\left(P\right):x+y-2z+6=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n}=\left(1;1;-2\right)$.

$\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\sin \phi$

Suy ra $d\left(M,\Delta \right)=MH=MA.\sin \phi =2\sqrt{3}.\sqrt{\frac{1}{3}}=2$.