Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a\sqrt{2}$. Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng $\left(SCD\right)$theo a.

Trả lời

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm của CD ta có

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)\Rightarrow \left(SCD\right)\perp \left(SOM\right)$ và $\left(SCD\right)\cap \left(SOM\right)=SM$

Kẻ $OH\perp SM,$ khi đó $d\left(O;\left(SCD\right)\right)=OH=\frac{OM.OS}{\sqrt{O{M}^2+O{S}^2}}=\frac{a.a\sqrt{2}}{2\sqrt{\frac{a^2}{4}+2a^2}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

Mặt khác $AO\cap \left(SCD\right)=C$ và O là trung điểm của AC suy ra:

          $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)=\frac{2a\sqrt{2}}{3}.$

Chọn A.