A = 1² + 2² + 3² + … + n²

A = (1 . 2 – 1) + (2 . 3 – 2) + (3 . 4 – 3) + … + [n(n + 1) – n]

A = [1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1)] – (1 + 2 + 3 + … + n)

Đặt B = 1 . 2 + 2 . 3 + … + n(n + 1) và C = 1 + 2 + 3 + … + n.

+ Ta tính tổng B:

B = 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)

Nhân 2 vế của B với 3 ta có:

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 3 + 3 . 4 . 3 + ... + n(n + 1) . 3

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . (4 – 1) + 3 . 4 . (5 – 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) – (n – 1)]

3B = 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 – 1 . 2 . 3 + 3 . 4 . 5 – 2 . 3 . 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) – (n –1)n(n + 1)

3B = n (n + 1)(n + 2)

B =$\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$

+ Ta tính tổng C:

C = 1 + 2 + 3 + … + n

Nhân 2 vế của C với 2 ta có:

2C = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 +…+ n . 2

2C = 1 . 2 + 2(3 – 1) + 3(4 – 2) +…+ {n.[(n + 1) – (n – 1)]}

2C = 1 . 2 – 1 . 2 + 2 . 3 – 2 . 3 + 3 . 4 – … –  n(n – 1) + n (n + 1)

2C = [1 . 2 – 1 . 2] + [2 . 3 – 2 . 3] + [3 . 4 – 3 . 4] + … – n(n – 1) + n(n + 1)

2C = 0 + 0 + 0 + …. + n.(n + 1)

2C = n.(n + 1)

C = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

Do đó, A = B – C = $\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}$

$=\frac{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}-\frac{3n\left(n+1\right)}{6}$.

$=\frac{2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-3n\left(n+1\right)}{6}$

$=\frac{n\left(n+1\right)\left[2\left(n+2\right)-3\right]}{6}$

$=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Vậy A $=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$  .