Câu hỏi:

01/04/2024 42

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

B. 24

C. $\frac{3}{2}$

D. 3

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\begin{array}{l} \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = \sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + 2 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} - \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1 \\ = (\sqrt{1 + 2 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} (\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) + \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . (\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) \\ \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \frac{\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1}{x}) + \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}) \end{array}$
Tính
$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{(\sqrt{1 + 2 x} - 1) (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x (\sqrt{1 + 2 x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{1 + 2 x} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1)}{x}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{(\sqrt[3]{1 + 3 x} - 1) [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}{x [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x .} \frac{3 x}{x [{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\frac{3 \sqrt{1 + 2 x}}{[{(\sqrt[3]{1 + 3 x})}^{2} + \sqrt[3]{1 + 3 x} + 1]}) = \frac{3.1}{1 + 1 + 1} = 1 \end{array}$
$\begin{array}{l} \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1)}{x}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{(\sqrt[4]{1 + 4 x} - 1) [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}{x [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} (\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \frac{4 x}{x [{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1]}) \\ = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} .}{{(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{3} + {(\sqrt[4]{1 + 4 x})}^{2} + \sqrt[4]{1 + 4 x} + 1} \\ = \frac{4.1.1}{1 + 1 + 1 + 1} = 1 \end{array}$
Vậy $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x} = 1 + 1 + 1 = 3$
Đáp án cần chọn là: D

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

Xem đáp án » 01/04/2024 53

Câu 2:

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

Xem đáp án » 01/04/2024 48

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

Xem đáp án » 01/04/2024 47

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án » 01/04/2024 45

Câu 5:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}})$

Xem đáp án » 01/04/2024 44

Câu 6:

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

Xem đáp án » 01/04/2024 44

Câu 7:

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

Xem đáp án » 01/04/2024 43

Câu 8:

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

Xem đáp án » 01/04/2024 43

Câu 9:

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$

Xem đáp án » 01/04/2024 40

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

24 đề 1376 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

17 đề 1001 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

19 đề 897 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

10 đề 744 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao

5 đề 623 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

6 đề 620 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

8 đề 525 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

10 đề 494 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

5 đề 475 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

7 đề 461 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

Tính limx→01+2x.1+3x3.1+4x4−1x

A. 232

B. 24

C. 32

D. 3

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Giá trị của giới hạn limx→021+x−8−x3x là

Câu 2:

Tính limx→−∞x2+1+x−1 bằng

Câu 3:

Tìm tất cả các giá trị của a để limx→−∞2x2+1+ax là

Câu 4:

Cho hàm số f(x)=x2+2x+4−x2−2x+4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 5:

Giá trị của giới hạn limx→+∞x2+x−x3−x23

Câu 6:

Biết rằng limx→−32(x3+33)3−x2=a3+b. Tính a2+b2

Câu 7:

Tính limx→−∞x3x+22x3+x2−1

Câu 8:

Tính limx→+∞x+1x+2...x+nn−x bằng

Câu 9:

Biết rằng a+b=4;limx→1a1−x−b1−x3 hữu hạn. Tính giới hạn L=limx→1b1−x3−a1−x

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Tính $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} . \sqrt[3]{1 + 3 x} . \sqrt[4]{1 + 4 x} - 1}{x}$

A. $\frac{23}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sqrt{1 + x} - \sqrt[3]{8 - x}}{x}$ là

Tính $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + 1} + x - 1)$ bằng

Tìm tất cả các giá trị của a để $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{2 x^{2} + 1} + a x)$ là

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - \sqrt{x^{2} - 2 x + 4}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - \sqrt[3]{x^{3} - x^{2}})$

Biết rằng $\lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 (x^{3} + 3 \sqrt{3})}{3 - x^{2}} = a \sqrt{3} + b$ . Tính $a^{2} + b^{2}$

Tính $\lim_{x \to - \infty} x \sqrt{\frac{3 x + 2}{2 x^{3} + x^{2} - 1}}$

Tính $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt[n]{(x + 1) (x + 2) ... (x + n)} - x)$ bằng

Biết rằng $a + b = 4; \lim_{x \to 1} (\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^{3}})$ hữu hạn. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} (\frac{b}{1 - x^{3}} - \frac{a}{1 - x})$