Tính các tổng sau:

a)  $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{3^n}+\mathrm{...}$

Chứng minh rằng phương trình $x^3+2x=4+3\sqrt{3-2x}$  có đúng một nghiệm.

Tìm các giới hạn sau:

a)  $\lim \left(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right).$

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $4a+c>8+2b$  và $a+b+c<-1$ . Khi đó số nghiệm thực phân biệt của phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$  bằng

Cho phương trình $x^3+a{x}^2+bx+c=0$(1) trong đó a, b, c là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Phương trình (1) vô nghiệm với mọi a, b, c

B. Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm với mọi a, b, c

C. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm với mọi a, b, c

D. Phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt với mọi a, b, c

Cho phương trình $2x^4-5x^2+x+1=0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng $\left(-1;1\right)$

B. Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng $\left(-2;1\right)$

C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng   $\left(0:2\right)$

D. Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng $\left(-2;\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}0}\right)$

Tìm các giới hạn sau:

Cho hàm số f(x)  xác định trên . Khẳng định nào sau đây đúng?

Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^3-3x^2+\left(2m-2\right)x+m-3=0$có ba nghiệm $x_1,x_2,x_3$  thỏa mãn $x_1<-1<x_2<x_3$

Tìm các giới hạn sau: $\lim \left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right).$

Tìm các giới hạn sau: b, $\lim \frac{1+2+2^2+\mathrm{...}+2^n}{1+3+3^2+\mathrm{...}+3^n}.$

Chứng minh phương trình$x^2\sin x+x\cos x+1=0$  có ít nhất một nghiệm.