Câu hỏi:
03/04/2024 31
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp
1) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\].
2) Sử dụng khai triển \[{\left( {a + b} \right)^n}\] và chọn a, b, n là các số thích hợp, từ đó quy ra tổng.
Cách giải
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
Ta có: \[{T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {2{x^3}} \right)^{12 - k}}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k} = C_{12}^k{.2^{12 - k}}.{x^{3\left( {12 - k} \right)}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{x^k}}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 3k - k}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 4k}}\].
Số hạng không chứa x nếu \[36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9\].
Vậy số hạng không chứa x là \[C_{12}^9.{\left( { - 1} \right)^9}{.2^{12 - 9}} = - 1760\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
Số hạng tổng quát \[C_{17}^k{.7^{17 - k}}{.3^k}\], chọn \[n = 17,a = 7,b = 3\].
Xét tổng: \[{\left( {7 + 3} \right)^{17}} = C_{17}^0{.7^{17 - 0}}{.3^0} + C_{17}^1{.7^{17 - 1}}{.3^1} + ... + C_{17}^{16}{.7^{17 - 16}}{.3^{16}} + C_{17}^{17}{.7^0}{.3^{17}}\].
Do đó \[{10^{17}} = {7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17}\] (đpcm).
Phương pháp
1) Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát \[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\].
2) Sử dụng khai triển \[{\left( {a + b} \right)^n}\] và chọn a, b, n là các số thích hợp, từ đó quy ra tổng.
Cách giải
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \[{\left( {2{x^3} - \frac{1}{x}} \right)^{12}},x \ne 0\].
Ta có: \[{T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {2{x^3}} \right)^{12 - k}}.{\left( { - \frac{1}{x}} \right)^k} = C_{12}^k{.2^{12 - k}}.{x^{3\left( {12 - k} \right)}}.\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{x^k}}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 3k - k}} = C_{12}^k.{\left( { - 1} \right)^k}{.2^{12 - k}}.{x^{36 - 4k}}\].
Số hạng không chứa x nếu \[36 - 4k = 0 \Leftrightarrow k = 9\].
Vậy số hạng không chứa x là \[C_{12}^9.{\left( { - 1} \right)^9}{.2^{12 - 9}} = - 1760\].
2) Chứng minh rằng \[{7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + {3^2}{.7^{15}}.C_{17}^2 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17} = {10^{17}}\].
Số hạng tổng quát \[C_{17}^k{.7^{17 - k}}{.3^k}\], chọn \[n = 17,a = 7,b = 3\].
Xét tổng: \[{\left( {7 + 3} \right)^{17}} = C_{17}^0{.7^{17 - 0}}{.3^0} + C_{17}^1{.7^{17 - 1}}{.3^1} + ... + C_{17}^{16}{.7^{17 - 16}}{.3^{16}} + C_{17}^{17}{.7^0}{.3^{17}}\].
Do đó \[{10^{17}} = {7^{17}}C_{17}^0 + {3.7^{16}}C_{17}^1 + ... + {3^{16}}.7C_{17}^{16} + {3^{17}}C_{17}^{17}\] (đpcm).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
3) Gọi I là trung điểm của cạnh CD, G là trọng tâm của tam giác SAB. Tìm giao điểm K của IG và \[\left( {OMN} \right)\]. Tính tỉ số \[\frac{{IK}}{{IG}}\].
Câu 2:
1) Một hộp chứa 3 quả cầu đen và 2 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu khác màu.
2) Hai người tham gia một trò chơi ném bóng vào rổ, mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng rổ của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là \[\frac{1}{5}\] và \[\frac{2}{7}\] và hai người ném một cách độc lập với nhau.
a) Tính xác suất để hai người cùng ném bóng trúng rổ.
b) Tính xác suất để có ít nhất một người ném không trúng rổ.
1) Một hộp chứa 3 quả cầu đen và 2 quả cầu trắng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả. Tính xác suất để lấy được hai quả cầu khác màu.
2) Hai người tham gia một trò chơi ném bóng vào rổ, mỗi người ném vào rổ của mình 1 quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng rổ của người thứ nhất, người thứ hai lần lượt là \[\frac{1}{5}\] và \[\frac{2}{7}\] và hai người ném một cách độc lập với nhau.
a) Tính xác suất để hai người cùng ném bóng trúng rổ.
b) Tính xác suất để có ít nhất một người ném không trúng rổ.
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\]. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\].
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và SD.
1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCD} \right)\]. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\].
Câu 4:
2) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \[\left( {OMN} \right)\]. Thiết diện là hình gì, tại sao?
Câu 5:
Giải các phương trình sau:
1) \[\cos 2x = 3\sin x + 1\]. 2) \[\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0\].
Giải các phương trình sau:
1) \[\cos 2x = 3\sin x + 1\]. 2) \[\cos 3x + \cos x - \cos 2x = 0\].
