Câu hỏi:
03/04/2024 15
Tìm \(m\) để phương trình \({\sin ^2}x - \sin x\cos x - m{\cos ^2}x = 2\sqrt {3\sin x{{\cos }^3}x + m{{\cos }^4}x} \) có nghiệm trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\).
Trả lời:
![verified](https://1900.edu.vn/images/exam/verified.webp)
Phương pháp:
- Chia cả 2 vế cho \({\cos ^2}x\), đưa phương trình về ẩn \(\tan x\).
- Đưa phương trình về dạng tích.
- Sử dụng phương pháp giải phương trình chứa căn.
- Cô lập \(m\), sử dụng phương pháp dùng BBT để biện luận nghiệm.
Cách giải:
Do \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \cos x > 0\).
Chia cả 2 vế phương trình cho \({\cos ^2}x\), ta có:
\[{\sin ^2}x - \sin x\cos x - m{\cos ^2}x = 2\sqrt {3\sin x{{\cos }^3}x + m{{\cos }^4}x} \]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \tan x - m = 2\sqrt {3\tan x + m} \]
\[ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\tan x - 3\tan x - m = 2\sqrt {3\tan x + m} \]
\[ \Leftrightarrow \left[ {{{\tan }^2}x - \left( {3\tan x + m} \right)} \right] = 2\sqrt {3\tan x + m} - 2\tan x\]
\[ \Leftrightarrow \left( {\tan x - \sqrt {3\tan x + m} } \right)\left( {\tan x + \sqrt {3\tan x + m} } \right) = 2\left( {\sqrt {3\tan x + m} - \tan x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left( {\tan x - \sqrt {3\tan x + m} } \right)\left( {\tan x + \sqrt {3\tan x + m} + 2} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \sqrt {3\tan x + m} \\\tan x + \sqrt {3\tan x + m} + 2 = 0\end{array} \right.\]
Do \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \tan x > 0 \Rightarrow \tan x + \sqrt {3\tan x + m} + 2 > 0{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)\].
\[ \Rightarrow \tan x = \sqrt {3\tan x + m} \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 3\tan x - m = 0\].
Đặt \[t = \tan x\], vì \[x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\].
\[ \Rightarrow {t^2} - 3t - m = 0\] với \[t \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t = m\] với \[t \in \left( {0;1} \right)\].
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} - 3t\] ta có BBT:
Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm \[t \in \left( {0;1} \right)\] khi và chỉ khi \[ - 2 < m < 0\].
Vậy \[m \in \left( { - 2;0} \right)\].
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(A_n^2 = 132\). Giá trị của \(n\) là:
Câu 2:
Gieo ngẫu nhiên 3 con súc sắc cân đối, đồng chất. Xác suất để tích số chấm xuất hiện trên ba con súc sắc là một số tự nhiên chẵn là:
Câu 3:
Cho hình vuông ABCD tâm O. Ảnh của đường thẳng CD qua phép quay tâm O, góc quay -90° là:
![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/01/8-1675089909.png)
Câu 4:
Trong không gian cho 10 điểm phân biệt, trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Số các hình tứ diện có thể kẻ được là:
Câu 5:
Hệ số của \({x^5}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{\left( {1 + 3x} \right)^{10}}\) là:
Câu 6:
Mỗi tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân đáy lớn AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là
Câu 11:
Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(m\sin x + 3\cos x = 2m\) có nghiệm là:
Câu 12:
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
Câu 13:
Từ các số 1, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 14:
Hệ số của \[{x^{12}}\]trong khai triển \[{\left( {{x^2} + x} \right)^{10}}\] là
Câu 15:
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\)và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
![Media VietJack](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2023/01/7-1675089087.png)