Tìm hệ số của $x^6$  trong khai triển  ${\left(\frac{1}{x}+x^3\right)}^{3n+1}$ với $x\ne 0$ , biết n  là số nguyên

dương thỏa mãn $3C_{n+1}^2+n{P}_2=4A_n^2.$

Tìm hệ số của $x^{10}$  trong khai triển ${\left(1+x+x^2+x^3\right)}^5$

Tìm hệ số của $x^7$  trong khai triển ${(3x^2-\frac{2}{x})}^n$  với $x\ne 0$ , biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển bằng 1080.

Tìm số tự nhiên  n, biết hệ số của số hạng thứ 3 theo số mũ giảm dần của x  trong khai triển ${(x-\frac{1}{3})}^n$  bằng 4.

Tính tổng $S=C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+\dots +C_{2n}^{2n}.$

Khai triển đa thức $P\left(x\right)={\left(5x-1\right)}^{2007}$  ta được $P\left(x\right)=a_{2007}{x}^{2007}+a_{2006}{x}^{2006}+\dots +a_{1}x+a_0.$

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Khai triển đa thức $P\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}x\right)}^{10}=a_0+a_{1}x+\dots +a_9{x}^9+a_{10}{x}^{10}$ . Tìm hệ số $a_k$ lớn nhất trong khai triển trên.

Tìm hệ số chứa $x^{10}$  trong khai triển $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{4}{x}^2+x+1\right)}^2{\left(x+2\right)}^{3n}$  với n  là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $A_n^3+C_n^{n-2}=14n.$

Tìm số hạng chứa $x^3$  trong khai triển ${(x+\frac{1}{2x})}^9$

Tìm hệ số của  $x^9$trong khai triển  ${\left(1-\sqrt{3}x\right)}^{2n}$, biết n là số nguyên dương thỏa mãn  $\frac{2}{C_n^2}+\frac{14}{3C_n^3}=\frac{1}{n}.$

Tìm số hạng chứa ${\mathit{x}}^{\mathbf{31}}$  trong khai triển ${(x+\frac{1}{x^2})}^{40}$

Đa thức $P\left(x\right)=32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1$  là khai triển của nhị thức

nào dưới đây?

Tìm hệ số của $x^4$  trong khai triển $P\left(x\right)={\left(1-x-3x^3\right)}^n$  với n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức $C_n^{n‐2}+6n+5=A_{n+1}^2.$