Tìm giới hạn của dãy số (u_n) với  $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}$.

Vì 1, 2, ..., n là một cấp số cộng gồm n số hạng với u₁ = 1 và công sai d = 1.

Do đó 1 + 2 + ... + n = $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ .

Ta có $u_n=\frac{n\sqrt{1+2+\mathrm{...}+n}}{2n^2+3}=\frac{n\sqrt{\frac{n\left(n+1\right)}{2}}}{2n^2+3}=\frac{n\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{2}\left(2n^2+3\right)}$ .

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n\left(n+1\right)}}{\sqrt{2}\left(2n^2+3\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2}\left(2+\frac{3}{n^2}\right)}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ .