Câu hỏi:

03/04/2024 44

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(x - 2)}^{2}}, {y^{'}}^{'} = \frac{7.2}{{(x - 2)}^{3}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{- 7.2.3}{{(x - 2)}^{4}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ . $(2)$

Với $n = 1$ ta thấy $(2)$ đúng.

Giả sử $(2)$ đúng với $n = k$ , tức là $y^{(k)} = \frac{{(- 1)}^{k} .7. k!}{{(x - 2)}^{k + 1}}$ .

Ta có: $y^{(k + 1)} = {(\frac{{(- 1)}^{k} .7. k}{{(x - 2)}^{k + 1}})}^{'} = - \frac{{(- 1)}^{k} .7. k! . (k + 1)}{{(x - 2)}^{k + 2}} = \frac{{(- 1)}^{k + 1} .7. (k + 1)!}{{(x - 2)}^{k + 2}}$ .

Do đó $(2)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ là $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 227

Câu 2:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin5xcos2x là

Xem đáp án » 03/04/2024 90

Câu 3:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 86

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Xem đáp án » 03/04/2024 79

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x}$ . Đạo hàm cấp hai của $f$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 72

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ . Phương trình y"=0 có nghiệm là

Xem đáp án » 03/04/2024 65

Câu 7:

Xét hàm số $y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ . Nghiệm $x \in [0; \frac{π}{2}]$ của phương trình $f^{(4)} (x) = - 8$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 61

Câu 8:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 60

Câu 9:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x là

Xem đáp án » 03/04/2024 57

Câu 10:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ . Giải phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 54

Câu 11:

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 54

Câu 12:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 53

Câu 13:

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 52

Câu 14:

Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 51

Câu 15:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$ tại điểm $x = 1$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 49

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

24 đề 1338 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

17 đề 965 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

19 đề 892 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

10 đề 720 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao

5 đề 598 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

6 đề 586 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

8 đề 502 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

10 đề 469 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

5 đề 457 lượt thi Thi thử
Đề thi Toán 11 Học kì 2 có đáp án

7 đề 441 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=3x+1x−2 .

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=3x+1x+2 là

Câu 2:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=sin5xcos2x là

Câu 3:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cos2x là

Câu 4:

Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Câu 5:

Cho hàm số y=−2x2+3x1−x. Đạo hàm cấp hai của f là

Câu 6:

Cho hàm sốy=x3−3x2+x+1. Phương trình y"=0 có nghiệm là

Câu 7:

Xét hàm số y=cos2x−π3. Nghiệm x∈0;π2của phương trình f4x=−8 là

Câu 8:

Cho hàm số y=1+3x−x2. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 9:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=cos2x là

Câu 10:

Cho hàm số y=2x+4x2+4x+3. Giải phương trình y''=0.

Câu 11:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=xx2+5x+6 là

Câu 12:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x−1x+2.

Câu 13:

Cho hàm số y=xsinx Chứng minh x.y''−2y'−sinx+xy=0.

Câu 14:

Cho hàm số y=sin2x. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 15:

Đạo hàm cấp hai của hàm số fx=x3−x2−4 tại điểm x=1 là

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x}$ . Đạo hàm cấp hai của $f$ là

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ . Phương trình y"=0 có nghiệm là

Xét hàm số $y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ . Nghiệm $x \in [0; \frac{π}{2}]$ của phương trình $f^{(4)} (x) = - 8$ là

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ . Giải phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ .

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ là

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Đạo hàm cấp hai của hàm số $f (x) = x^{3} - x^{2} - 4$ tại điểm $x = 1$ là