Câu hỏi:

03/04/2024 19

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $y^{'} = \frac{- 7}{{(x - 2)}^{2}}, {y^{'}}^{'} = \frac{7.2}{{(x - 2)}^{3}}, {y^{'}}^{'}^{'} = \frac{- 7.2.3}{{(x - 2)}^{4}}$ .

Bằng quy nạp ta chứng minh $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ . $(2)$

Với $n = 1$ ta thấy $(2)$ đúng.

Giả sử $(2)$ đúng với $n = k$ , tức là $y^{(k)} = \frac{{(- 1)}^{k} .7. k!}{{(x - 2)}^{k + 1}}$ .

Ta có: $y^{(k + 1)} = {(\frac{{(- 1)}^{k} .7. k}{{(x - 2)}^{k + 1}})}^{'} = - \frac{{(- 1)}^{k} .7. k! . (k + 1)}{{(x - 2)}^{k + 2}} = \frac{{(- 1)}^{k + 1} .7. (k + 1)!}{{(x - 2)}^{k + 2}}$ .

Do đó $(2)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$ .

Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ là $y^{(n)} = \frac{{(- 1)}^{n} .7. n!}{{(x - 2)}^{n + 1}}$ .

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 188

Câu 2:

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 53

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ . Phương trình y"=0 có nghiệm là

Xem đáp án » 03/04/2024 44

Câu 4:

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x}$ . Đạo hàm cấp hai của $f$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 37

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Xem đáp án » 03/04/2024 33

Câu 6:

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 31

Câu 7:

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 30

Câu 8:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ . Giải phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 29

Câu 9:

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 28

Câu 10:

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 27

Câu 11:

Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Xem đáp án » 03/04/2024 27

Câu 12:

Cho hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ . Đạo hàm $y^{(n)}$ là

Xem đáp án » 03/04/2024 27

Câu 13:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 26

Câu 14:

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Chứng minh ${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 26

Câu 15:

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ .

Xem đáp án » 03/04/2024 25

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Đề kiểm tra Giữa kì 2 Toán 11 có đáp án (Mới nhất)

24 đề 579 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi giữa học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

17 đề 458 lượt thi Thi thử
Bộ 20 đề thi học kì 1 Toán 11 năm 2022 - 2023 có đáp án

19 đề 443 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm nâng cao

5 đề 294 lượt thi Thi thử
299 bài trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết

10 đề 291 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác có đáp án

8 đề 225 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 11 Bài 27. Thể tích có đáp án

3 đề 224 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Tổ hợp - Xác suất cơ bản

6 đề 207 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra học kì 2 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

6 đề 204 lượt thi Thi thử
100 câu trắc nghiệm Đạo hàm cơ bản

5 đề 196 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »

Câu hỏi:

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y=3x+1x−2 .

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=3x+1x+2 là

Câu 2:

Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cos2x là

Câu 3:

Cho hàm sốy=x3−3x2+x+1. Phương trình y"=0 có nghiệm là

Câu 4:

Cho hàm số y=−2x2+3x1−x. Đạo hàm cấp hai của f là

Câu 5:

Cho hàm số fx=3x2−2x−19 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Câu 6:

Cho hàm số y=1+3x−x2. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 7:

Cho hàm số y=xsinx Chứng minh x.y''−2y'−sinx+xy=0.

Câu 8:

Cho hàm số y=2x+4x2+4x+3. Giải phương trình y''=0.

Câu 9:

Đạo hàm cấp n của hàm số y=xx2+5x+6 là

Câu 10:

Cho hàm số y=2x−x2. Chứng minh y3.y''+1=0.

Câu 11:

Cho hàm số y=1x. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 12:

Cho hàm số y=sinx2. Đạo hàm yn là

Câu 13:

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y=3x−1x+2.

Câu 14:

Cho hàm số y=sin3x+cos3x1−sinx.cosx . Chứng minh y''+y=0.

Câu 15:

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y=sin22x.

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất

Tìm đạo hàm cấp n của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ là

Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \cos^{2} x$ là

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ . Phương trình y"=0 có nghiệm là

Cho hàm số $y = \frac{- 2 x^{2} + 3 x}{1 - x}$ . Đạo hàm cấp hai của $f$ là

Cho hàm số $f (x) = {(3 x^{2} - 2 x - 1)}^{9}$ . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x=0.

Cho hàm số $y = \sqrt{1 + 3 x - x^{2}}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y=xsinx

Chứng minh $x . {y^{'}}^{'} - 2 (y^{'} - \sin x) + x y = 0$ .

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ . Giải phương trình ${y^{'}}^{'} = 0$ .

Đạo hàm cấp $n$ của hàm số $y = \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$ là

Cho hàm số $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ . Chứng minh $y^{3} . {y^{'}}^{'} + 1 = 0$ .

Cho hàm số $y = \frac{1}{x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y = \sin \frac{x}{2}$ . Đạo hàm $y^{(n)}$ là

Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số $y = \frac{3 x - 1}{x + 2}$ .

Cho hàm số $y = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{1 - \sin x . \cos x}$ . Chứng minh ${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ .