Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi 

Bài 6.17 trang 24 Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x\in ℝ$:

x² + (m + 1)x + 2m + 3. 

Trả lời

Ta có tam thức f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có ∆ = (m + 1)² – 4 . 1 . (2m + 3) = m² + 2m + 1 – 8m – 12 = m² – 6m – 11. 

Lại có hệ số a = 1 > 0. 

Để f(x) luôn dương (cùng dấu hệ số a) với mọi $x\in ℝ$ thì ∆ < 0. 

⇔ m² – 6m – 11 < 0. 

Xét tam thức h(m) = m² – 6m – 11 có ∆'_m = (– 3)² – 1 . (– 11) = 20 > 0 nên h(m) có hai nghiệm m₁ = $3-\sqrt{20}=3-2\sqrt{5}$ và m₂ = $3+\sqrt{20}=3+2\sqrt{5}$. 

Mặt khác ta có hệ số a_m = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Do đó, h(m) < 0 với mọi m $\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$. 

Hay ∆ < 0 với mọi m $\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$.

Vậy m$\in \left(3-2\sqrt{5};3+2\sqrt{5}\right)$ thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi $x\in ℝ$.