Chọn A

Ta có $3^{x^2-3\left|x-m\right|}={\log }_{x^2+3}\left(3\left|x-m\right|+3\right)\iff 3^{x^2+3}.{\log }_3\left(x^2+3\right)=3^{3\left|x-m\right|+3}.{\log }_3\left(3\left|x-m\right|+3\right)$ (1)

Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t.{\log }_{3}t,\left(t\ge 3\right) ;f^{\text{'}}\left(t\right)=3^t.\ln t+3^t.\frac{1}{t\ln 3}>0,\forall t\ge 3$.

Suy ra f(t) là hàm đồng biến và liên tục trên $\left[3;+\infty \right)$.

Do đó, (1) $\iff x^2+3=3\left|x-m\right|+3\iff x^2=3\left|x-m\right|$.

+ TH 1: $\left\{\begin{array}{l}x\ge m\\ x^2-3x+3m=0\left(2\right)\end{array}\right.$.

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x\ge m\\ \Delta =9-12m\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge m\\ m\le \frac{3}{4}\end{array}\right.\iff m\le \frac{3}{4}$.

+ TH 2: $\left\{\begin{array}{l}x<m\\ x^2+3x-3m=0\left(3\right)\end{array}\right.$.

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x<m\\ \Delta =9+12m\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<m\\ m\ge -\frac{3}{4}\end{array}\right.\iff m\ge -\frac{3}{4}$ .

Vậy với mọi $m\in ℝ$ phương trình đã cho luôn có nghiệm.