Sóng dừng ổn định trên một sợi dây nhẹ, đàn hồi với hai đầu \({\rm{O}},{\rm{A}}\) cố định như hình vẽ bên. Tần số sóng \({\rm{f}} = \) \(20{\rm{\;Hz}}\). Tại thời điểm \({t_0}\), dây duỗi thẳng và các điểm có tốc độ bằng \(120\pi \left( {{\rm{cm}}/{\rm{s}}} \right)\) nằm cách đều nhau những đoạn \(6{\rm{\;cm}}\) mà không phải các điểm bụng. Tại thời điểm \({t_1} = {t_0} + 1/240{\rm{\;s}}\), hình dạng của sợi dây là đường (1). Tại thời điểm \({t_2} = {t_1} + 1/80{\rm{\;s}}\), hình dạng của sợi dây là đường (2). Độ dài đoạn CD trên đồ thị gần nhất với giá trị nào sau đây?

D. \(4,1{\rm{\;cm}}\)

\(\frac{\lambda }{4} = 6cm \Rightarrow \lambda = 24cm\)

\(\omega = 2\pi f = 2\pi .20 = 40\pi \) (rad/s)

\(A = \frac{{{v_{\max }}}}{\omega } = \frac{{120\pi }}{{40\pi }} = 3cm = \frac{{{A_b}}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {A_b} = 3\sqrt 2 cm\)

\({A_C} = {A_D} = {A_b}\sin \left( {\frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = 3\sqrt 2 \sin \left( {\frac{{2\pi .1}}{6}} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) (cm)

\({u_{C1}} = {A_C}\cos \left( {\omega {t_1} - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\cos \left( {40\pi .\frac{1}{{240}} - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{4}cm\)

\({u_{D2}} = {A_D}\cos \left( {\omega {t_2} - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\cos \left[ {40\pi .\left( {\frac{1}{{240}} + \frac{1}{{80}}} \right) - \frac{\pi }{2}} \right] = \frac{{9\sqrt 2 }}{4}cm\)

\(CD = \sqrt {{{\left( {\frac{\lambda }{6}} \right)}^2} + {{\left( {{u_{D2}} - {u_{C1}}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{24}}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{9\sqrt 2 }}{4} - \frac{{3\sqrt 6 }}{4}} \right)}^2}} \approx 4,22cm\). Chọn D