Số tiền của một niên kim Bác Lan gửi đều dặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích lũy hưởng lãi suất 6% mỗi năm

HĐ1 trang 126 Toán 11 Tập 1: Số tiền của một niên kim

Bác Lan gửi đều dặn 10 triệu đồng vào ngày đầu mỗi tháng trong vòng 5 năm vào một tài khoản tích lũy hưởng lãi suất 6% mỗi năm, theo hình thức lãi kép hằng tháng.

a) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất, cuối kì thứ hai.

b) Tính số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n.

c) Tính số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng.

Trả lời

a) Ta có: 5 năm = 60 tháng.

Lãi suất theo tháng là 0,5%.

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là

A₁ = 10 + 10. 0,5% = 10.(1 + 0,5%) = 10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là

A₂ = [10.(1 + 0,5%) + 10] + [10.(1 + 0,5%) + 10].0,5%

= [10.(1 + 0,5%) + 10](1 + 0,5%) = 10.(1 + 0,5%)² + 10.(1 + 0,5%)

= 20,15025 (triệu đồng).

b) Tiếp tục làm như trên ta thấy số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n là

A_n = 10.(1 + 0,5%)ⁿ + 10.(1 + 0,5%)^{n – 1} + ... + 10.(1 + 0,5%) (triệu đồng).

c) Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng là

A = A₅₉ + 10 = [10.(1 + 0,5%)⁵⁹ + 10.(1 + 0,5%)⁵⁸ + ... + 10.(1 + 0,5%)] + 10

= 10 + 10.(1 + 0,5%) + 10.(1 + 0,5%)² + ... + 10.(1 + 0,5%)⁵⁹

Đây là tổng của 60 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên a = 10 và công bội q = 1 + 0,5%, nên ta có:

A =$10.\frac{1-{\left(1+0,5\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,5\%\right)}=10.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{60}-1}{0,5\%}$ ≈ 697,7 (triệu đồng).

Lãi suất theo tháng là 0,5%.

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ nhất là

A₁ = 10 + 10. 0,5% = 10.(1 + 0,5%) = 10,05 (triệu đồng).

Số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ hai là

A₂ = [10.(1 + 0,5%) + 10] + [10.(1 + 0,5%) + 10].0,5%

= [10.(1 + 0,5%) + 10](1 + 0,5%) = 10.(1 + 0,5%)² + 10.(1 + 0,5%)

= 20,15025 (triệu đồng).

b) Tiếp tục làm như trên ta thấy số tiền có trong tài khoản vào cuối kì thứ n là

A_n = 10.(1 + 0,5%)ⁿ + 10.(1 + 0,5%)^{n – 1} + ... + 10.(1 + 0,5%) (triệu đồng).

c) Số tiền có trong tài khoản ngay sau lần thanh toán cuối cùng là

A = A₅₉ + 10 = [10.(1 + 0,5%)⁵⁹ + 10.(1 + 0,5%)⁵⁸ + ... + 10.(1 + 0,5%)] + 10

= 10 + 10.(1 + 0,5%) + 10.(1 + 0,5%)² + ... + 10.(1 + 0,5%)⁵⁹

Đây là tổng của 60 số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu tiên a = 10 và công bội q = 1 + 0,5%, nên ta có:

A =$10.\frac{1-{\left(1+0,5\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,5\%\right)}=10.\frac{{\left(1+0,5\%\right)}^{60}-1}{0,5\%}$ ≈ 697,7 (triệu đồng).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 17: Hàm số liên tục

Bài tập cuối Chương 5

Một vài áp dụng của toán học trong tài chính

Lực căng mặt ngoài của nước