Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều (Hình 48) với chiều cao là 4 cm và cạnh lục giác dài 21,5 cm

Bài 56 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Người ta cần đổ bê tông để làm những viên gạch có dạng khối lăng trụ lục giác đều (Hình 48) với chiều cao là 4 cm và cạnh lục giác dài 21,5 cm. Tính thể tích bê tông theo đơn vị centimét khối để làm một viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trả lời

Ta thấy rằng đáy của viên gạch cần làm là lục giác đều.

Chia hình lục giác đều thành 6 hình tam giác đều có cạnh là 21,5 cm (hình vẽ trên).

Gọi ABC là tam đều cạnh 21,5 cm, kẻ đường cao AH (H ∈ BC) (hình vẽ trên).

Suy ra AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC hay H là trung điểm của BC.

$\Rightarrow CH=\frac{BC}{2}=\frac{21,5}{2}=10,75cm.$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác AHC vuông tại H có:

AC² = AH² + HC²

Suy ra $AH=\sqrt{A{C}^2-H{C}^2}=\sqrt{21,5^2-10,{75}^2}=\frac{43\sqrt{3}}{4}\left(cm\right).$

Từ đó ta có diện tích tam giác ABC đều cạnh 21,5 cm là

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}.\frac{43\sqrt{3}}{4}.21,5=\frac{1849\sqrt{3}}{16}\left(c{m}^2\right).$

Như vậy, ta có diện tích 1 tam giác đều cạnh 21,5 cm là: $\frac{1849\sqrt{3}}{16}\left(c{m}^2\right).$

Khi đó, diện tích đáy của viên gạch (gồm 6 hình tam giác đều có cạnh là 21,5 cm) là: $S=6.\frac{1849\sqrt{3}}{16}=\frac{5547\sqrt{3}}{8}$ (cm²).

Vậy thể tích bê tông cần dùng để làm một viên gạch có dạng khối lăng trụ với chiều cao h = 4 cm và diện tích đáy $S=\frac{5547\sqrt{3}}{8}$ (cm²) là:

$V=Sh=\frac{5547\sqrt{3}}{8}.4\approx 4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}803,8$ (cm³).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8