Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’); Số đo của góc nhị diện [A, CD, B’]

Bài 55 trang 117 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính:

a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’);

b) Số đo của góc nhị diện [A, CD, B’];

c) Tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD);

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC;

e*) Góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Trả lời

Ta có: ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương cạnh a nên tất cả các mặt bên và hai mặt đáy của hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ đều là hình vuông cạnh a.

a) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có (ABCD) // (A’B’C’D’) và AA’ ⊥ (ABCD).

Như vậy: d((ABCD), (A’B’C’D’)) = d(A’, (ABCD)) = AA’ = a.

b) Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên ta có A’B’ // DC.

Suy ra bốn điểm A’, B’, C, D đồng phẳng.

Khi đó, góc nhị diện [A, CD, B’] bằng góc nhị diện [A, CD, A’].

Ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ DD’ (do ABCD, D’C’CD là hai hình vuông), AD ∩ DD’ = D trong (A’D’DA).

Suy ra CD ⊥ (A’D’DA).

Hơn nữa A’D ⊂ (A’D’DA).

Nên ta có CD ⊥ A’D.

Ta thấy: A’D ⊥ CD, AD ⊥ CD (do ABCD là hình vuông), AD ∩ A’D = D ∈ CD.

Suy ra $\widehat{AD{A}^{\text{'}}}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, CD, A’] hay góc nhị diện [A, CD, B’].

Vì ADD’A là hình vuông nên $\widehat{AD{A}^{\text{'}}}=45°.$

Vậy số đo của góc nhị diện [A, CD, B’] bằng 45°

c) Vì DD’ ⊥ (ABCD) nên góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng BD’ và BD và bằng $\widehat{D^{\text{'}}BD}.$

Do ABCD là hình vuông cạnh a, nên ta có $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$

Ta có: DD’ ⊥ (ABCD), BD ⊂ (ABCD) nên DD’ ⊥ BD.

Xét tam giác D’DB vuông tại D có:

$\tan \widehat{D^{\text{'}}BD}=\frac{D{D}^{\text{'}}}{BD}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy tang của góc giữa đường thẳng BD’ và mặt phẳng (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}.$

d) Gọi I là giao điểm của CD’ và C’D.

Do D’C’CD là hình vuông nên I là trung điểm của CD’ và CD’ ⊥ C’D hay IC ⊥ C’D.

Ta có: BC ⊥ (D’C’CD) (do ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương)

Mà IC ⊂ (D’C’CD) nên BC ⊥ IC.

Ta thấy: IC ⊥ C’D, IC ⊥ BC nên IC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng C’D và BC.

Như vậy: $d\left(C^{\text{'}}D,BC\right)=IC=\frac{C{D}^{\text{'}}}{2}.$

Do ABCD, D’C’CD, A’D’DA là các hình vuông cạnh a nên có các đường chéo $C{D}^{\text{'}}=A{D}^{\text{'}}=AC=a\sqrt{2}.$

Suy ra $d\left(C^{\text{'}}D,BC\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng C’D và BC bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

e*) Ta có: D’C’ song song và bằng DC, DC song song và bằng AB (do DC’CD, ABCD là hai hình vuông cạnh a), nên D’C’ song song và bằng AB.

Suy ra ABC’D’ là hình bình hành nên ta có BC’ // AD’.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng góc giữa hai đường thẳng AD’ và CD’ và bằng

Vì $C{D}^{\text{'}}=A{D}^{\text{'}}=AC=a\sqrt{2}$ nên tam giác ACD’ là tam giác đều.

Suy ra $\widehat{A{D}^{\text{'}}C}=60°.$

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ bằng 60°.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8