$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x+\sqrt{3x+\sqrt{5x+\sqrt{7x+\mathrm{...}+\sqrt{2019x}}}}}-\sqrt{x}\right)=\frac{\sqrt{a}}{b}$ (với a,b nguyên dương nhỏ nhất). Tính a+b.

Cho hình chóp SABC có SA=SC=AB=AC= $a\sqrt{2}$ và BC=2a. Khi đó góc giữa hai đường thẳng AC và SB.

Cho f(x) liên tục trên [-1,5] thỏa mãn f(-1)=1, f(5)= 6. Phương trình nào sau đây luôn có nghiệm trong khoảng (1,-5) ?

Chọn mệnh đề đúng?  Trong không gian:

Cho hình chóp SABC có $SA\perp \left(ABC\right)$ và $AB\perp BC$. H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình hộp ABCDA'B'C'D'. Một đường thẳng $∆$ cắt các đường thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N,P sao cho $\overrightarrow{NM}=3\overrightarrow{NP}$. Tính $k=\frac{MA}{M{A}^{\text{'}}}$?

Biết $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{3x+a}{x+1}=-\infty$ thì giá trị của a thỏa mãn:

Cho $\lim \frac{\sqrt{8n^2+1}+4-3n}{n+3}=a\sqrt{2}+b$. Mệnh đề nào đúng?

Cho các khẳng định:

(I): Cho hàm số y= f(x)  liên tục trên [a,b] và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$. Khi đó phương trình $f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a,b).

(II): Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên [a,b] và $f\left(a\right).f\left(b\right)>0$. Khi đó phương trình f(x)=0 không có nghiệm trên khoảng (a,b).

Trong các khẳng định trên:

Tìm khẳng định đúng:

Rút gọn $S=1+{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x+{\sin }^{6}x+\mathrm{...}+{\sin }^{2n}x+\mathrm{...}$với $\sin x\ne \pm 1$.