Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\left|\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}\right|$ trên đoạn $\left[-1;1\right]$ bằng 3. Tích các phần tử của S bằng

Trả lời

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp hàm số xác định GTLN, GTNN của hàm số $y=\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}$ trên $\left[-1;1\right].$

- Khi đó $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)\right|;\left|\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)\right|\right\}.$

- Giải phương trình $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=3$ tìm m

Cách giải:

Xét hàm số $g\left(x\right)=\frac{x^2+2mx+4m}{x+2}$ ta có:

$\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x+2m\right)\left(x+2\right)-x^2-2mx-4m}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{x\left(x+4\right)}{{\left(x+2\right)}^2}\\ g\text{'}\left(x\right)=0\iff x\left(x+4\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-4\end{array}\right..\end{array}$

Bảng biến thiên:

Ta có: $2m+1=\frac{6m+3}{3}>\frac{6m+1}{3}$ nên ta có: $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }f\left(x\right)=2m+1;\underset{\left[-1;1\right]}{\min }f\left(x\right)=2m.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \underset{\left[-1;1\right]}{\max }\left|f\left(x\right)\right|=\max \left\{\left|2m+1\right|;\left|2m\right|\right\}\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\left|2m+1\right|=3\\ \left|2m+1\right|\ge \left|2m\right|\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}\left|2m\right|=3\\ \left|2m\right|\ge \left|2m+1\right|\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\Rightarrow S=\left\{1;-\frac{3}{2}\right\}\end{array}$

Vậy tích các phần tử của S bằng $1.\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{2}.$

Chọn C.